Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2270
2019-03-20 
Hа плоскости $P$ стоит равносторонний конус, высота которого 10 см. (Равносторонним называется прямой конус, осевое сечение которого - правильный треугольник.) Каждый из трех равных шаров, лежащих на плоскости $P$ вне конуса, касается двух других шаров и боковой поверхности конуса. Найти радиус шаров.
Решение:
Обозначим центры шаров буквами $O_1, O_2$ и $O_3$, а их проекции на плоскость $P$ через $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ (рис.) равносторонний со стороной $2R$, а точка $O$ - проекция вершины $S$ конуса будет центром этого треугольника.
Образующую конуса, которой касается шар с центром в точке $O_1$ обозначим через $SD$, а точку касания - буквой $E$. Отрезок $O_1E$ перпендикулярен $SD$ и равен $R$. Так как данный конус равносторонний, то угол между образующей и ее проекцией на основание конуса равен $60^{\circ}$. По условию $SO = 10$, следовательно, $DO = 10 \cdot ctg 60^{\circ} = \frac{ 10}{ \sqrt {3}}$.
Отрезок $AO$ находим из треугольника $ABC$:
$AO = \frac{2R}{ \sqrt {3}}$.
Таким образом, $AD = \frac {2R - 10}{\sqrt {3}}$. Угол $ADE$ равен $120^{\circ}$, а луч $O_1D$ делит его пополам. Из прямоугольного треугольника $AO_1D$
$R = AD tg60^{\circ}$, т. е. $R = \frac {2R - 10}{\sqrt {3}} \sqrt {3}$
откуда находим $R$.
Ответ. 10 см.
Hа плоскости $P$ стоит равносторонний конус, высота которого 10 см. (Равносторонним называется прямой конус, осевое сечение которого - правильный треугольник.) Каждый из трех равных шаров, лежащих на плоскости $P$ вне конуса, касается двух других шаров и боковой поверхности конуса. Найти радиус шаров.
Решение:
Обозначим центры шаров буквами $O_1, O_2$ и $O_3$, а их проекции на плоскость $P$ через $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ (рис.) равносторонний со стороной $2R$, а точка $O$ - проекция вершины $S$ конуса будет центром этого треугольника.
Образующую конуса, которой касается шар с центром в точке $O_1$ обозначим через $SD$, а точку касания - буквой $E$. Отрезок $O_1E$ перпендикулярен $SD$ и равен $R$. Так как данный конус равносторонний, то угол между образующей и ее проекцией на основание конуса равен $60^{\circ}$. По условию $SO = 10$, следовательно, $DO = 10 \cdot ctg 60^{\circ} = \frac{ 10}{ \sqrt {3}}$.
Отрезок $AO$ находим из треугольника $ABC$:
$AO = \frac{2R}{ \sqrt {3}}$.
Таким образом, $AD = \frac {2R - 10}{\sqrt {3}}$. Угол $ADE$ равен $120^{\circ}$, а луч $O_1D$ делит его пополам. Из прямоугольного треугольника $AO_1D$
$R = AD tg60^{\circ}$, т. е. $R = \frac {2R - 10}{\sqrt {3}} \sqrt {3}$
откуда находим $R$.
Ответ. 10 см.
