Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2269
2019-03-20 
Две равные сферы касаются друг друга и граней двугранного угла. Третья сфера меньшего радиуса также касается граней этого двугранного угла и касается обеих данных сфер. Дано отношение $m$ радиуса меньшей сферы к радиусу одной из равных сфер. Найти величину $\alpha$ двугранного угла. Каким должно быть $m$, чтобы задача имела решение?
Решение:
Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры двух равных шаров с радиусом $R$, а $O_3$ - центр третьего шара радиуса $r$ (рис.). Треугольник $O_1O_3F$ прямоугольный, т. е.
$O_1O_{3}^{2} = O_1F^2 + O_3F^2$.
Так как $O_1O_3 = R + r$, $O_1F = R - r$, то остается вычислить $O_3F$. Из треугольника $BDE$, в котором $DB = O_3F$, имеем
${DB}^2 = {DE}^2 + {EB}^2$.
Длину отрезка $EB$ можно найти как $AB - AE$. Но $AB = R ctg \frac{ \alpha}{2}$ (из треугольника $O_3AB$), а $AE = CD = r ctg \frac{ \alpha}{2}$ (из треугольника $O_3CD$).
Таким образом, ${EB}^2 = \left (R ctg \frac{\alpha}{2} - r ctg \frac{ \alpha}{2} \right )^2$.
Отрезок $DE$ можно определить, если воспользоваться условием, что шары $O_1$ и $O_2$ касаются. Отрезок $O_1O_2$ равен $2R$ и параллелен плоскости $\Pi$. Следовательно, $KB = 2R$ и $DE = LB = R$.
Величина ${DB}^2$ теперь найдена:
${DB}^2 = R^2 + ctg^2 \frac{ \alpha}{2} (R - r)^2$,
и теорема Пифагора для треугольника $O_1O_3F$ примет вид
$(R + r)^2 = (R - r)^ + R^2 + ctg^2 \frac{ \alpha}{2} (R - r)^2$.
Раскрыв скобки в членах, не содержащих множителя $ctg^2 \frac{ \alpha}{2}$ найдем
$ctg^2 \frac{ \alpha}{2} = \frac {4Rr - R^2}{(R-r)^2}$.
По условию $\frac{r}{R} = m$ разделим числитель и знаменатель правой части почленно на $R^2$:
$ctg^2 \frac{ \alpha}{2} = \frac {4 \frac{r}{R} - 1}{ \left (1 - \frac{r}{R} \right )^2} = \frac {4m - 1}{(1 - m)^2}$.
Число $m$ всегда меньше единицы, так как по условию $r$ меньше $R$. Кроме того, $4m - 1 \geq 0$, так как слева стоит квадрат. Но $ctg \frac{ \alpha}{2} = 0$, если $\frac{ \alpha}{2} = \frac{ \pi}{2}$ и $\alpha = \pi$ что невозможно. Поэтому $4m - 1 > 0$ и $m > \frac{1}{4}$.
Ответ. При $\frac{1}{4} < m < 1 \: \alpha = 2 arcctg \frac {\sqrt {4m - 1}}{1-m}$.
Две равные сферы касаются друг друга и граней двугранного угла. Третья сфера меньшего радиуса также касается граней этого двугранного угла и касается обеих данных сфер. Дано отношение $m$ радиуса меньшей сферы к радиусу одной из равных сфер. Найти величину $\alpha$ двугранного угла. Каким должно быть $m$, чтобы задача имела решение?
Решение:
Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры двух равных шаров с радиусом $R$, а $O_3$ - центр третьего шара радиуса $r$ (рис.). Треугольник $O_1O_3F$ прямоугольный, т. е.
$O_1O_{3}^{2} = O_1F^2 + O_3F^2$.
Так как $O_1O_3 = R + r$, $O_1F = R - r$, то остается вычислить $O_3F$. Из треугольника $BDE$, в котором $DB = O_3F$, имеем
${DB}^2 = {DE}^2 + {EB}^2$.
Длину отрезка $EB$ можно найти как $AB - AE$. Но $AB = R ctg \frac{ \alpha}{2}$ (из треугольника $O_3AB$), а $AE = CD = r ctg \frac{ \alpha}{2}$ (из треугольника $O_3CD$).
Таким образом, ${EB}^2 = \left (R ctg \frac{\alpha}{2} - r ctg \frac{ \alpha}{2} \right )^2$.
Отрезок $DE$ можно определить, если воспользоваться условием, что шары $O_1$ и $O_2$ касаются. Отрезок $O_1O_2$ равен $2R$ и параллелен плоскости $\Pi$. Следовательно, $KB = 2R$ и $DE = LB = R$.
Величина ${DB}^2$ теперь найдена:
${DB}^2 = R^2 + ctg^2 \frac{ \alpha}{2} (R - r)^2$,
и теорема Пифагора для треугольника $O_1O_3F$ примет вид
$(R + r)^2 = (R - r)^ + R^2 + ctg^2 \frac{ \alpha}{2} (R - r)^2$.
Раскрыв скобки в членах, не содержащих множителя $ctg^2 \frac{ \alpha}{2}$ найдем
$ctg^2 \frac{ \alpha}{2} = \frac {4Rr - R^2}{(R-r)^2}$.
По условию $\frac{r}{R} = m$ разделим числитель и знаменатель правой части почленно на $R^2$:
$ctg^2 \frac{ \alpha}{2} = \frac {4 \frac{r}{R} - 1}{ \left (1 - \frac{r}{R} \right )^2} = \frac {4m - 1}{(1 - m)^2}$.
Число $m$ всегда меньше единицы, так как по условию $r$ меньше $R$. Кроме того, $4m - 1 \geq 0$, так как слева стоит квадрат. Но $ctg \frac{ \alpha}{2} = 0$, если $\frac{ \alpha}{2} = \frac{ \pi}{2}$ и $\alpha = \pi$ что невозможно. Поэтому $4m - 1 > 0$ и $m > \frac{1}{4}$.
Ответ. При $\frac{1}{4} < m < 1 \: \alpha = 2 arcctg \frac {\sqrt {4m - 1}}{1-m}$.
