Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2268
2019-03-20 
Два шара радиуса $r$ и один шар радиуса $R (R > r)$ лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом. Найти радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.
Решение:
Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры меньших шаров, $O_3$ - центр большого шара, а $O$ - центр шара, радиус которого нужно определить. Спроектируем точки $O_1, O_2, O_3$ $O$ на плоскость (рис.). Треугольник $P_1P_2P_3$ равнобедренный и точка $P$ лежит на его медиане и высоте.
Обозначим радиус $OP = x$. После этого многие отрезки на рис. можно будет выразить через $R, r$ и $х$. Отложим на $O_3P_3 = R$ отрезок $BP_3 = r$. Треугольники $O_1O_2B$ и $P_1P_2P_3$ равны, как основания призмы. Перед нами задача - связать величины $r = O_1P_1 = O_2P_2$, $R = O_3P_3$, $x = OP$. Прямоугольные треугольники $OO_1E$ и $OO_3C$ позволяют вычислить отрезки $P_1P$ и $P_3P$. Отрезок $DP_3 = AB$ можно найти из прямоугольного треугольника $O_3AB$ ($O_3A$ можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник $P_1DP$, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между $r, R$ и $х$.
Проведем теперь все вычисления.
Из треугольника $O_3AO_2$ находим
$AO_{3}^{2} = O_2O_{3}^{2} + AO_{3}^{2} = (R + r)^2 - r^2 = R^2 + 2Rr$;
из треугольника $O_3AB$ находим
${AB}^2 = AO_{3}^{2} - O_3B^2 = R^2 + 2Rr - (R - r)^2 = 4Rr - r^2$.
Следовательно, $DP_{3}^{2} = 4Rr - r^2$.
Вычисляем
$P_3P^2 = {CO}^2 = (R + x)^2 - (R - x)^2 = 4Rx$
и
$P_1P^2 = {EO}^2 = O_1O^2 - O_1E^2 = (r + x)^2 - (r - x)^2 = 4rx$.
B треугольнике $P_1DP$ известна гипотенуза $P_1P$. Катет $P_1D = r$, a катет
$DP = DP_3 - P_3P = \sqrt {4Rr - r^2} - \sqrt {4Rx}$.
По теореме Пифагора $P_1P^2 = P_1D^2 + {DP}^2$, т. е.
$4rx = r^2 + 4Rr - r^2 - 4 \sqrt {4R^2r - r^2R} \sqrt {x} +Rr$,
или
$4rx = r^2 + 4Rr - r^2 - 4 \sqrt {4R^2r - r^2R} \sqrt {x} +Rr = 0$.
Решая это уравнение, находим
$\sqrt {x} = \frac {\sqrt {4R^2r - r^2R} \pm \sqrt {3Rr^2}}{2(R-r)}$.
Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для $\sqrt {x}$ оказывается больше $\sqrt {r}$, что невозможно.
Ответ. $\frac {Rr (2R + r - \sqrt {(4R - r) 3r}}{2 (R - r)^2}$.
Два шара радиуса $r$ и один шар радиуса $R (R > r)$ лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом. Найти радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.
Решение:
Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры меньших шаров, $O_3$ - центр большого шара, а $O$ - центр шара, радиус которого нужно определить. Спроектируем точки $O_1, O_2, O_3$ $O$ на плоскость (рис.). Треугольник $P_1P_2P_3$ равнобедренный и точка $P$ лежит на его медиане и высоте.
Обозначим радиус $OP = x$. После этого многие отрезки на рис. можно будет выразить через $R, r$ и $х$. Отложим на $O_3P_3 = R$ отрезок $BP_3 = r$. Треугольники $O_1O_2B$ и $P_1P_2P_3$ равны, как основания призмы. Перед нами задача - связать величины $r = O_1P_1 = O_2P_2$, $R = O_3P_3$, $x = OP$. Прямоугольные треугольники $OO_1E$ и $OO_3C$ позволяют вычислить отрезки $P_1P$ и $P_3P$. Отрезок $DP_3 = AB$ можно найти из прямоугольного треугольника $O_3AB$ ($O_3A$ можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник $P_1DP$, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между $r, R$ и $х$.
Проведем теперь все вычисления.
Из треугольника $O_3AO_2$ находим
$AO_{3}^{2} = O_2O_{3}^{2} + AO_{3}^{2} = (R + r)^2 - r^2 = R^2 + 2Rr$;
из треугольника $O_3AB$ находим
${AB}^2 = AO_{3}^{2} - O_3B^2 = R^2 + 2Rr - (R - r)^2 = 4Rr - r^2$.
Следовательно, $DP_{3}^{2} = 4Rr - r^2$.
Вычисляем
$P_3P^2 = {CO}^2 = (R + x)^2 - (R - x)^2 = 4Rx$
и
$P_1P^2 = {EO}^2 = O_1O^2 - O_1E^2 = (r + x)^2 - (r - x)^2 = 4rx$.
B треугольнике $P_1DP$ известна гипотенуза $P_1P$. Катет $P_1D = r$, a катет
$DP = DP_3 - P_3P = \sqrt {4Rr - r^2} - \sqrt {4Rx}$.
По теореме Пифагора $P_1P^2 = P_1D^2 + {DP}^2$, т. е.
$4rx = r^2 + 4Rr - r^2 - 4 \sqrt {4R^2r - r^2R} \sqrt {x} +Rr$,
или
$4rx = r^2 + 4Rr - r^2 - 4 \sqrt {4R^2r - r^2R} \sqrt {x} +Rr = 0$.
Решая это уравнение, находим
$\sqrt {x} = \frac {\sqrt {4R^2r - r^2R} \pm \sqrt {3Rr^2}}{2(R-r)}$.
Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для $\sqrt {x}$ оказывается больше $\sqrt {r}$, что невозможно.
Ответ. $\frac {Rr (2R + r - \sqrt {(4R - r) 3r}}{2 (R - r)^2}$.
