Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2267
2019-03-20 
B правильную усеченную треугольную пирамиду вписан шар радиуса $r$. Боковое ребро пирамиды равно стороне меньшего основания. Найти объем пирамиды.
Решение:
Обозначим через $а$ сторону нижнего основания пирамиды, через $b$ - сторону ее верхнего основания, а через $S$ площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:
$\frac{r}{3} \left [ (a^2 + b^2) \frac {\sqrt {3}}{4} + 3S \right ]$.
C другой стороны, объем равен
$\frac{H}{3} \left ( S_1 + S_2 + \sqrt {S_1S_2} \right ) = \frac{2r}{3} \left [(a^2 + b^2) \frac {\sqrt {3}}{4} + ab \frac{ \sqrt {3}}{4} \right ]$.
Приравнивая эти два выражения, найдем
$S = (a+b)^2 \frac {\sqrt {3}}{12}$.
Вспомним, что боковая грань - трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:
$h = \sqrt {b^2 - \left ( \frac {a-b}{2} \right )^2} = \frac{1}{2} \sqrt {3b^2 + 2ab - a^2}$,
$S = \frac{1}{4} (a+b) \sqrt {3b^2 + 2ab - a^2}$.
Сравнивая с предыдущим выражением для $S$, получим уравнение относительно $\frac{a}{b}$. После сокращения на $а + b$ (равенство суммы $а + b$ нулю не имеет геометрического смысла) и возведении в квадрат придем к выражению
$2b^2 + ab - a^2 = 0$,
или
$\left ( \frac{a}{b} \right )^2 - \frac{a}{b} - 2 = 0$.
Так как $а$ и $b$ - положительные величины, то $\frac{a}{b} = 2$ или $а = 2b$.
Чтобы связать величины $b$ и $r$, спроектируем точку $C_1$ на плоскость нижнего основания (рис.). Поскольку радиус описанной окружности треугольника $ABC$ в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ то $DC = \frac{b}{ \sqrt {3}}$.
По теореме Пифагора для треугольника $C_1DC$,
$b^2 - \frac{b^2}{3} = 4r^2$,
откуда
$b = r \sqrt {6}$, $a = 2b = 2r \sqrt {6}$.
Остается вычислить объем: $V = \frac{2r}{3} \left [ (a^2 + b^2) \frac{ \sqrt {3}}{4} + ab \frac {\sqrt {3}}{4} \right ] = 7 \sqrt {3} r^3$.
Ответ. $7 \sqrt {3} r^3$.
B правильную усеченную треугольную пирамиду вписан шар радиуса $r$. Боковое ребро пирамиды равно стороне меньшего основания. Найти объем пирамиды.
Решение:
Обозначим через $а$ сторону нижнего основания пирамиды, через $b$ - сторону ее верхнего основания, а через $S$ площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:
$\frac{r}{3} \left [ (a^2 + b^2) \frac {\sqrt {3}}{4} + 3S \right ]$.
C другой стороны, объем равен
$\frac{H}{3} \left ( S_1 + S_2 + \sqrt {S_1S_2} \right ) = \frac{2r}{3} \left [(a^2 + b^2) \frac {\sqrt {3}}{4} + ab \frac{ \sqrt {3}}{4} \right ]$.
Приравнивая эти два выражения, найдем
$S = (a+b)^2 \frac {\sqrt {3}}{12}$.
Вспомним, что боковая грань - трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:
$h = \sqrt {b^2 - \left ( \frac {a-b}{2} \right )^2} = \frac{1}{2} \sqrt {3b^2 + 2ab - a^2}$,
$S = \frac{1}{4} (a+b) \sqrt {3b^2 + 2ab - a^2}$.
Сравнивая с предыдущим выражением для $S$, получим уравнение относительно $\frac{a}{b}$. После сокращения на $а + b$ (равенство суммы $а + b$ нулю не имеет геометрического смысла) и возведении в квадрат придем к выражению
$2b^2 + ab - a^2 = 0$,
или
$\left ( \frac{a}{b} \right )^2 - \frac{a}{b} - 2 = 0$.
Так как $а$ и $b$ - положительные величины, то $\frac{a}{b} = 2$ или $а = 2b$.
Чтобы связать величины $b$ и $r$, спроектируем точку $C_1$ на плоскость нижнего основания (рис.). Поскольку радиус описанной окружности треугольника $ABC$ в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ то $DC = \frac{b}{ \sqrt {3}}$.
По теореме Пифагора для треугольника $C_1DC$,
$b^2 - \frac{b^2}{3} = 4r^2$,
откуда
$b = r \sqrt {6}$, $a = 2b = 2r \sqrt {6}$.
Остается вычислить объем: $V = \frac{2r}{3} \left [ (a^2 + b^2) \frac{ \sqrt {3}}{4} + ab \frac {\sqrt {3}}{4} \right ] = 7 \sqrt {3} r^3$.
Ответ. $7 \sqrt {3} r^3$.
