ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-20   
B конус вписан куб так, что одно его ребро лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, а центр куба лежит на высоте конуса. Найти отношение объема конуса к объему куба.


Решение:



Пусть $OA = R$, $SO = H$, ребро куба равно $a$ (рис.). Из подобия треугольников $SOA$ и $SO_1B$ получим

$\frac{R}{H} = \frac {O_1B}{H - OO_1}$.

Так как

$OO_1 = a \frac{\sqrt {2}}{2}, O_1B = \frac{1}{2} a \sqrt {3}$,

то

$\frac{R}{H} = \frac {a \sqrt {3}}{2H - a \sqrt {2}}$.

Из подобия треугольников $SO_1B$ и $SO_2C$

$\frac {O_1B}{H - OO_1} = \frac {O_2C}{H - 2OO_1}$, т.е. $\frac {a \sqrt {3}}{2H - a \sqrt {2}} = \frac {a}{2H - 2a \sqrt {2}}$.

Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее $H$:

$H = \frac {a \sqrt {2} (2 \sqrt {3} - 1)}{2 \sqrt {3} - 2}$.

С помощью первого соотношения определим теперь $R$:

$R = \frac {Ha \sqrt {3}}{2H - a \sqrt {3}} = \frac{a}{2} (2 \sqrt {3} - 1)$.

Остается сосчитать отношение объемов:

$\frac { \frac{1}{3} \pi R^2 H}{a^3}$.

Ответ. $\frac {\pi \sqrt {2} (s \sqrt {3} - 1)^3 (\sqrt {3} +1)}{48}$.