Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2265
2019-03-20 
B основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $а$. Ребро $SD = h$ перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды лежит цилиндр так, что окружность одного, его основания вписана в треугольник $SCD$, а окружность другого касается грани $SAB$. Найти высоту цилиндра.
Решение:
Так как ребро $SD$ перпендикулярно к плоскости основания, то треугольник $SCD$ (рис.), в который вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.
Радиус этой окружности равен площади треугольника $SDG$, деленной на полупериметр, т. е.
$r = \frac {ah}{a + h + \sqrt {a^2 + h^2}}$.
Угол $MEK$ равен углу $SAD$, так как треугольники $MEK$ и $SAD$ подобны. Из треугольника $SAD$ находим, $ctg \angle SAD = \frac{a}{h}$. Следовательно, и $ctg \angle MEK = \frac{a}{h}$. Для дальнейших рассуждений достаточно рассмотреть трапецию $EMNF$ (рис.).
Отрезок $MK = 2r$. Из треугольника $MEK$ находим
$EK= MK ctg \angle MEK = \frac{2ra}{h}$.
Искомый отрезок $KF = EF - EK = a - \frac{2ra}{h} = \frac {a (h - 2r)}{h}$.
ответ. $\frac {a (\sqrt {a^2 + h^2} + h - a)}{\sqrt {a^2 + h^2} +h + a}$.
B основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $а$. Ребро $SD = h$ перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды лежит цилиндр так, что окружность одного, его основания вписана в треугольник $SCD$, а окружность другого касается грани $SAB$. Найти высоту цилиндра.
Решение:
Так как ребро $SD$ перпендикулярно к плоскости основания, то треугольник $SCD$ (рис.), в который вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.
Радиус этой окружности равен площади треугольника $SDG$, деленной на полупериметр, т. е.
$r = \frac {ah}{a + h + \sqrt {a^2 + h^2}}$.
Угол $MEK$ равен углу $SAD$, так как треугольники $MEK$ и $SAD$ подобны. Из треугольника $SAD$ находим, $ctg \angle SAD = \frac{a}{h}$. Следовательно, и $ctg \angle MEK = \frac{a}{h}$. Для дальнейших рассуждений достаточно рассмотреть трапецию $EMNF$ (рис.).
Отрезок $MK = 2r$. Из треугольника $MEK$ находим
$EK= MK ctg \angle MEK = \frac{2ra}{h}$.
Искомый отрезок $KF = EF - EK = a - \frac{2ra}{h} = \frac {a (h - 2r)}{h}$.
ответ. $\frac {a (\sqrt {a^2 + h^2} + h - a)}{\sqrt {a^2 + h^2} +h + a}$.
