Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2264
2019-03-20 
B конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найти объем конуса, если радиусы шаров равны $r$.
Решение:
Расстояние между центрами $O_1$ и $O_3$ двух не касающихся друг друга шаров равно $2r \sqrt {2}$ (рис.). На рис. изображено осевое сечение конуса, проходящее через $O_1$ и $O_3$. B этом же сечении будет лежать и $O_5$. B треугольнике $O_5O_1E$ сторона $O_1O_5 = 2r$, а $O_1E = r \sqrt {2}$, следовательно, $\frac {O_1E}{O_1O_5} = \frac{1}{ \sqrt {2}}$ т. е. угол $O_5O_1E$ равен $45^{\circ}$. Треугольник $ASD$ подобен треугольнику $O_1O_5E$. Поэтому $H = R$. Найдем $H$:
$H = SO_5 + O_5E + ED = \sqrt {2} r + \frac{2r}{ \sqrt {2}} + r = r (2 \sqrt {2} +1)$.
Теперь можно найти и объем конуса:
$V = \frac{ \pi r^3}{3} \left (2 \sqrt {2} +1 \right )^3$.
Ответ. $\frac{ \pi r^3}{3} (22 \sqrt {2} + 25)$.
B конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найти объем конуса, если радиусы шаров равны $r$.
Решение:
Расстояние между центрами $O_1$ и $O_3$ двух не касающихся друг друга шаров равно $2r \sqrt {2}$ (рис.). На рис. изображено осевое сечение конуса, проходящее через $O_1$ и $O_3$. B этом же сечении будет лежать и $O_5$. B треугольнике $O_5O_1E$ сторона $O_1O_5 = 2r$, а $O_1E = r \sqrt {2}$, следовательно, $\frac {O_1E}{O_1O_5} = \frac{1}{ \sqrt {2}}$ т. е. угол $O_5O_1E$ равен $45^{\circ}$. Треугольник $ASD$ подобен треугольнику $O_1O_5E$. Поэтому $H = R$. Найдем $H$:
$H = SO_5 + O_5E + ED = \sqrt {2} r + \frac{2r}{ \sqrt {2}} + r = r (2 \sqrt {2} +1)$.
Теперь можно найти и объем конуса:
$V = \frac{ \pi r^3}{3} \left (2 \sqrt {2} +1 \right )^3$.
Ответ. $\frac{ \pi r^3}{3} (22 \sqrt {2} + 25)$.
