Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2263
2019-03-20 
Oколо прямого кругового конуса, высота которого равна радиусу основания, описана пирамида. Площадь полной поверхности конуса равна половине площади полной поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности конуса равна $\pi \sqrt {2}$. Найти объем пирамиды.
Решение:
Боковая поверхность конуса равна $\pi rl$. Так как по условию $H = r$, то $l = r \sqrt {2}$. Получаем
$\pi r^2 \sqrt {2} = \pi \sqrt {2}$,
откуда $r = 1$.
Полная поверхность конуса равна
$\pi \sqrt {2} + \pi r^2 = \pi ( 1+ \sqrt {2})$,
а площадь полной поверхности пирамиды в два раза больше: $2 \pi (1 + \sqrt {2})$. Так как высота каждой грани пирамиды равна $l = r \sqrt {2} = \sqrt {2}$, то полупериметр основания пирамиды равен
$\frac {2\pi (1+ \sqrt {2}}{l + r} = 2 \pi$.
Так как радиус вписанной в основание пирамиды окружности равен единице, то площадь основания равна $2\pi$.
Теперь определим объем пирамиды.
Ответ. $\frac{2 \pi}{3}$.
Oколо прямого кругового конуса, высота которого равна радиусу основания, описана пирамида. Площадь полной поверхности конуса равна половине площади полной поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности конуса равна $\pi \sqrt {2}$. Найти объем пирамиды.
Решение:
Боковая поверхность конуса равна $\pi rl$. Так как по условию $H = r$, то $l = r \sqrt {2}$. Получаем
$\pi r^2 \sqrt {2} = \pi \sqrt {2}$,
откуда $r = 1$.
Полная поверхность конуса равна
$\pi \sqrt {2} + \pi r^2 = \pi ( 1+ \sqrt {2})$,
а площадь полной поверхности пирамиды в два раза больше: $2 \pi (1 + \sqrt {2})$. Так как высота каждой грани пирамиды равна $l = r \sqrt {2} = \sqrt {2}$, то полупериметр основания пирамиды равен
$\frac {2\pi (1+ \sqrt {2}}{l + r} = 2 \pi$.
Так как радиус вписанной в основание пирамиды окружности равен единице, то площадь основания равна $2\pi$.
Теперь определим объем пирамиды.
Ответ. $\frac{2 \pi}{3}$.
