Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2262
2019-03-20 
Сфера вписана в прямой круговой конус с углом $\alpha$ при вершине осевого сечения. B эту сферу вписан конус с таким же углом при вершине осевого сечения. Найти угол $\alpha$, если отношение объема первого конуса к объему второго конуса равно $а$. При каких значениях $а$ задача имеет решение?
Решение:
Обозначим радиус сферы через $R$ и рассмотрим осевое сечение каждого из конусов. Второй конус можно расположить внутри сферы произвольным образом. Mы расположим его так, чтобы образующие обоих конусов были параллельны (рис.). Выразим радиусы оснований конусов через $R$.
B треугольнике $FOK$ углы $OFK$ и $OKF$ равны $\frac{ \alpha}{2}$. Следовательно, угол $EOK$ равен их сумме, т. е. $\alpha$. Из треугольника $EOK$ находим $EK = R \sin \alpha$. Далее,
$EF = EO + OF = R (1 + \cos \alpha)$,
$CD = CO + OD = R \left (1 + \frac {1}{\sin \frac{ \alpha}{2}} \right )$,
$DB = DC tg \frac{ \alpha}{2} = R \left (1 + \frac {1}{\sin \frac{ \alpha}{2}} \right ) tg \frac{ \alpha}{2} = R \frac {1 + \sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$.
Cоставим теперь отношение объемов и приравняем его к $а$. После простых преобразований придем к уравнению относительно $\alpha$:
$1 + \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} \cos^2 \frac{ \alpha}{2}$,
или
$1+ \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} \left (1 - \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Так как $1 + \sin \frac{ \alpha}{2} \neq 0$ (иначе не существует конус), то
$2 \sqrt[3]{a} \sin^2 \frac{ \alpha}{2} - 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} + 1 = 0$,
откуда
$\alpha = 2 arcsin \left [ \frac{1}{2} \left (1 \pm \sqrt {1 - \frac{2}{ \sqrt[3]{a}}} \right ) \right ]$.
Так как $а > 0$, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 и 1. Чтобы можно было осуществить извлечение корня, необходимо взять $а \geq 8$.
Ответ. $\alpha = 2 arcsin \left [ \frac{1}{2} \left (1 \pm \sqrt {1 - \frac {2}{\sqrt[3]{a}}} \right ) \right ]$ при $a \geq 8$.
Сфера вписана в прямой круговой конус с углом $\alpha$ при вершине осевого сечения. B эту сферу вписан конус с таким же углом при вершине осевого сечения. Найти угол $\alpha$, если отношение объема первого конуса к объему второго конуса равно $а$. При каких значениях $а$ задача имеет решение?
Решение:
Обозначим радиус сферы через $R$ и рассмотрим осевое сечение каждого из конусов. Второй конус можно расположить внутри сферы произвольным образом. Mы расположим его так, чтобы образующие обоих конусов были параллельны (рис.). Выразим радиусы оснований конусов через $R$.
B треугольнике $FOK$ углы $OFK$ и $OKF$ равны $\frac{ \alpha}{2}$. Следовательно, угол $EOK$ равен их сумме, т. е. $\alpha$. Из треугольника $EOK$ находим $EK = R \sin \alpha$. Далее,
$EF = EO + OF = R (1 + \cos \alpha)$,
$CD = CO + OD = R \left (1 + \frac {1}{\sin \frac{ \alpha}{2}} \right )$,
$DB = DC tg \frac{ \alpha}{2} = R \left (1 + \frac {1}{\sin \frac{ \alpha}{2}} \right ) tg \frac{ \alpha}{2} = R \frac {1 + \sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$.
Cоставим теперь отношение объемов и приравняем его к $а$. После простых преобразований придем к уравнению относительно $\alpha$:
$1 + \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} \cos^2 \frac{ \alpha}{2}$,
или
$1+ \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} \left (1 - \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \right )$.
Так как $1 + \sin \frac{ \alpha}{2} \neq 0$ (иначе не существует конус), то
$2 \sqrt[3]{a} \sin^2 \frac{ \alpha}{2} - 2 \sqrt[3]{a} \sin \frac{ \alpha}{2} + 1 = 0$,
откуда
$\alpha = 2 arcsin \left [ \frac{1}{2} \left (1 \pm \sqrt {1 - \frac{2}{ \sqrt[3]{a}}} \right ) \right ]$.
Так как $а > 0$, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 и 1. Чтобы можно было осуществить извлечение корня, необходимо взять $а \geq 8$.
Ответ. $\alpha = 2 arcsin \left [ \frac{1}{2} \left (1 \pm \sqrt {1 - \frac {2}{\sqrt[3]{a}}} \right ) \right ]$ при $a \geq 8$.
