ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-20   
Два шара, отношение радиусов которых равно $р$, касаются друг друга внешним образом. Они помещены внутри конуса так, что центры их находятся на оси конуса; при этом первый шар касается боковой поверхности конуса, а второй -боковой поверхности и основания конуса. Найти отношение суммы площадей поверхностей этих шаров к площади полной поверхности конуса.


Решение:



B осевом сечении конуса получим картину, изображенную на рис. По условию $r = pR$. Из подобия треугольников $EOB$ и $FO_1B$ получим

$\frac{r}{R} = \frac {H - 2R - r}{H - R}$,

т.е.

$H = \frac {2R^2}{R-r}$,

а из подобия треугольников $ADB$ и $OEB (AB = l)$ найдем

$\frac{l}{ \rho} = \frac{H-R}{R}$,

т.е.

$l = \rho \frac {H-R}{R} = \rho \frac {1 + p}{1 - p}$.

Так как $l^2 - p^2 = H^2$, получаем уравнение относительно $p$, решая которое находим $\rho^2 = \frac{R^2}{p}$. Полная поверхность конуса равна

$\pi \rho ( \rho + l)$.

С помощью производной пропорции из соотношения $\frac{l}{ \rho} = \frac{H-R}{R}$ получим

$\frac{l + \rho}{ \rho} = \frac{H}{p}$, т.е. $(l + \rho) \rho = \rho^2 \frac{H}{R} = \frac{2R^2}{p(1-p)}$.

Сумма поверхностей шаров равна

$4\pi (R^2 + r^2)$.

Составим искомое отношение:

$\frac {2(R^2 + r^2)p(p-1)}{R^2} = 2 (1 + p^2)p(1-p)$.
Ответ. $2p(1-p)(1+p^2)$.