Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2260
2019-03-19 
Доказать, что объем правильной пирамиды меньше куба ее бокового ребра.
Решение:
Опишем около данной пирамиды конус с образующей $l$, высотой $H$ и радиусом нижнего основания $R$. Объем конуса больше объема пирамиды. Если мы докажем, что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем самым будет решена.
Введем в рассмотрение угол $\alpha$ между $Н$ и $l$. Тогда
$H = l \cos \alpha, R = l \sin \alpha$,
а объем конуса равен
$V = \frac{ \pi}{3} R^2 H = \frac{ \pi}{3} l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$.
Составим отношение:
$\frac{ V}{l^3} = \frac{1}{3} \pi \sin^2 \alpha \cos \alpha = \frac{ \pi}{6} \sin 2 \alpha \sin \alpha \leq \frac{ \pi}{6} < 1$,
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
Доказать, что объем правильной пирамиды меньше куба ее бокового ребра.
Решение:
Опишем около данной пирамиды конус с образующей $l$, высотой $H$ и радиусом нижнего основания $R$. Объем конуса больше объема пирамиды. Если мы докажем, что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем самым будет решена.
Введем в рассмотрение угол $\alpha$ между $Н$ и $l$. Тогда
$H = l \cos \alpha, R = l \sin \alpha$,
а объем конуса равен
$V = \frac{ \pi}{3} R^2 H = \frac{ \pi}{3} l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$.
Составим отношение:
$\frac{ V}{l^3} = \frac{1}{3} \pi \sin^2 \alpha \cos \alpha = \frac{ \pi}{6} \sin 2 \alpha \sin \alpha \leq \frac{ \pi}{6} < 1$,
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
