Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2259
2019-03-19 
Oколо правильного тетраэдра описан цилиндр так, что два противоположных ребра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найти отношение объема тетраэдра к объему цилиндра.
Решение:
Пусть ребро тетраэдра равно $a$, тогда для решения задачи нужно выразить через $a$ высоту цилиндра (рис.):
$OO_1 = \sqrt {{O_1B}^2 - {OB}^2} = \sqrt { \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{ a \sqrt {2}}{2}$.
Объем цилиндра равен $\frac {\pi a^3 \sqrt {2}}{8}$; объем тетраэдра $\frac{a^3 \sqrt {2}}{12}$.
Остается найти отношение объемов.
Ответ. $\frac{2}{3 \pi}$.
Oколо правильного тетраэдра описан цилиндр так, что два противоположных ребра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найти отношение объема тетраэдра к объему цилиндра.
Решение:
Пусть ребро тетраэдра равно $a$, тогда для решения задачи нужно выразить через $a$ высоту цилиндра (рис.):
$OO_1 = \sqrt {{O_1B}^2 - {OB}^2} = \sqrt { \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \frac{ a \sqrt {2}}{2}$.
Объем цилиндра равен $\frac {\pi a^3 \sqrt {2}}{8}$; объем тетраэдра $\frac{a^3 \sqrt {2}}{12}$.
Остается найти отношение объемов.
Ответ. $\frac{2}{3 \pi}$.
