Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2258
2019-03-19 
Ребро куба равно $a$. Сфера с центром в точке $O$ делит три ребра куба, сходящихся в вершине $A$, пополам. Из одной такой точки деления $K$ опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину $A$. Угол между этим перпендикуляром и радиусом сферы $OK$ делится ребром куба пополам. Найти радиус сферы.
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что точка $O$ лежит на диагонали $AC_1$ куба. Для доказательства достаточно установить, что плоскость $KMN$ (рис.) перпендикулярна к $AC_1$ и что $AC_1$ проходит через точку $O_1$, являющуюся центром треугольника $KMN$.
По теореме о трех перпендикулярах $AC_1 \perp BD$. Следовательно, $AC_1 \perp KN$. Аналогично прямая $AC_1$ перпендикулярна к $КМ$ или $MN$, т. е. $AC_1$ - перпендикуляр к плоскости $KMN$.
Треугольник $KMN$ равносторонний. Так как $AK = AN = AM$, то из равенства соответствующих треугольников, имеющих общие вершины в точках $A$ и $O_1$, получаем $KO_1 = NO_1 = MO_1$.
Мы доказали, что центр $O$ сферы лежит на продолжении отрезка $AC_1$.
Так как $AK$ - биссектриса в треугольнике $OKO_1$, то $\frac{OK}{KO_1} = \frac{OA}{AO_1}$. Отсюда найдем $OK = R$, выразив остальные отрезки через ребро куба:
$KO_1 = \frac{KN}{ \sqrt {3}} = \frac{BD}{ 2 \sqrt {3}} = \frac{a}{ \sqrt {6}}$,
$AO_1 = \sqrt {{AK}^2 - {KO_1}^2} = \frac{a}{ \sqrt {12}}$,
$OA = OO_1 -AO_1 = \sqrt {{OK}^2 - {KO_1}^2} = AO_1 = \sqrt {R^2 - \frac{a^2}{6}} - \frac{a}{ \sqrt {12}}$.
Подставив все эти выражения в пропорцию $\frac{OK}{KO_1} = \frac{OA}{AO_1}$, получим уравнение относительно $R$. После простых преобразований это уравнение запишется в виде
$6R^2 - 2 \sqrt {6} a R - 3 a^2 = 0$.
Геометрический смысл имеет только положительный корень.
Ответ. $R = \sqrt { \frac{3}{2}} a$.
Ребро куба равно $a$. Сфера с центром в точке $O$ делит три ребра куба, сходящихся в вершине $A$, пополам. Из одной такой точки деления $K$ опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину $A$. Угол между этим перпендикуляром и радиусом сферы $OK$ делится ребром куба пополам. Найти радиус сферы.
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что точка $O$ лежит на диагонали $AC_1$ куба. Для доказательства достаточно установить, что плоскость $KMN$ (рис.) перпендикулярна к $AC_1$ и что $AC_1$ проходит через точку $O_1$, являющуюся центром треугольника $KMN$.
По теореме о трех перпендикулярах $AC_1 \perp BD$. Следовательно, $AC_1 \perp KN$. Аналогично прямая $AC_1$ перпендикулярна к $КМ$ или $MN$, т. е. $AC_1$ - перпендикуляр к плоскости $KMN$.
Треугольник $KMN$ равносторонний. Так как $AK = AN = AM$, то из равенства соответствующих треугольников, имеющих общие вершины в точках $A$ и $O_1$, получаем $KO_1 = NO_1 = MO_1$.
Мы доказали, что центр $O$ сферы лежит на продолжении отрезка $AC_1$.
Так как $AK$ - биссектриса в треугольнике $OKO_1$, то $\frac{OK}{KO_1} = \frac{OA}{AO_1}$. Отсюда найдем $OK = R$, выразив остальные отрезки через ребро куба:
$KO_1 = \frac{KN}{ \sqrt {3}} = \frac{BD}{ 2 \sqrt {3}} = \frac{a}{ \sqrt {6}}$,
$AO_1 = \sqrt {{AK}^2 - {KO_1}^2} = \frac{a}{ \sqrt {12}}$,
$OA = OO_1 -AO_1 = \sqrt {{OK}^2 - {KO_1}^2} = AO_1 = \sqrt {R^2 - \frac{a^2}{6}} - \frac{a}{ \sqrt {12}}$.
Подставив все эти выражения в пропорцию $\frac{OK}{KO_1} = \frac{OA}{AO_1}$, получим уравнение относительно $R$. После простых преобразований это уравнение запишется в виде
$6R^2 - 2 \sqrt {6} a R - 3 a^2 = 0$.
Геометрический смысл имеет только положительный корень.
Ответ. $R = \sqrt { \frac{3}{2}} a$.
