Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2257
2019-03-19 
Найти расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно $а$.
Решение:
Пусть выбраны диагонали $C_1D$ и $B_1C$ (рис.). Так как $B_1C \parallel A_1D$ и $C_1D \parallel B_1A$, то плоскости $A_1C_1D$ и $AB_1C$ параллельны. Расстояние между $B_1C$ и $C_1D$ равно расстоянию между этими плоскостями.
Обе плоскости $A_1C_1D$ и $AB_1C$ перпендикулярны к диагонали $BD_1$.
Поэтому искомое расстояние равно разности между отрезком $BD_1$ и удвоенной высотой пирамиды $D_1A_1C_1D$. Объем этой пирамиды равен $\frac{a^3}{6}$, а площадь основания $A_1C_1D$ равна $\frac {a^2 \sqrt {3}}{2}$, следовательно, высота $h = \frac{a}{ \sqrt {3}}$. Так как $BD_1 = a \sqrt {3}$, то искомое расстояние равно $a \sqrt {3} - \frac{2a}{ \sqrt{3}} = \frac{a}{ \sqrt {3}}$.
Ответ. $\frac{a}{ \sqrt {3}}$.
Найти расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно $а$.
Решение:
Пусть выбраны диагонали $C_1D$ и $B_1C$ (рис.). Так как $B_1C \parallel A_1D$ и $C_1D \parallel B_1A$, то плоскости $A_1C_1D$ и $AB_1C$ параллельны. Расстояние между $B_1C$ и $C_1D$ равно расстоянию между этими плоскостями.
Обе плоскости $A_1C_1D$ и $AB_1C$ перпендикулярны к диагонали $BD_1$.
Поэтому искомое расстояние равно разности между отрезком $BD_1$ и удвоенной высотой пирамиды $D_1A_1C_1D$. Объем этой пирамиды равен $\frac{a^3}{6}$, а площадь основания $A_1C_1D$ равна $\frac {a^2 \sqrt {3}}{2}$, следовательно, высота $h = \frac{a}{ \sqrt {3}}$. Так как $BD_1 = a \sqrt {3}$, то искомое расстояние равно $a \sqrt {3} - \frac{2a}{ \sqrt{3}} = \frac{a}{ \sqrt {3}}$.
Ответ. $\frac{a}{ \sqrt {3}}$.
