Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2256
2019-03-19 
Cторона треугольника равна $\alpha$. Разность прилегающих к ней углов равна $\phi$. На треугольнике, как на основании, построена прямая призма. Через ребро призмы, противоположное стороне $a$, проведено сечение площади $S$, которое делит двугранный угол пополам. Найти объем призмы.
Решение:
Разность углов $A$ и $C$ равна $\phi$, $BD$ - биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$ (рис.). Вычислим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{B}{2} + C = \frac {\pi - A - C}{2} + C = \frac{ \pi}{2} + \frac{C-A}{2} = \frac{ \pi}{2} + \frac{ \phi}{2}$.
Объем призмы равен произведению $AA_1$ на площадь основания $ABC$, т.е.
$AA_1 \left ( \frac{1}{2} AD \cdot DB \sin \alpha + \frac{1}{2} DC \cdot DB \sin \alpha \right ) = \frac{1}{2} AA_1 \cdot DB \cdot AC \sin \alpha = \frac{1}{2} a S \cos \frac{\phi}{2}$.
Ответ. $\frac{1}{2} aS \cos \frac{ \phi}{2}$.
Cторона треугольника равна $\alpha$. Разность прилегающих к ней углов равна $\phi$. На треугольнике, как на основании, построена прямая призма. Через ребро призмы, противоположное стороне $a$, проведено сечение площади $S$, которое делит двугранный угол пополам. Найти объем призмы.
Решение:
Разность углов $A$ и $C$ равна $\phi$, $BD$ - биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$ (рис.). Вычислим угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{B}{2} + C = \frac {\pi - A - C}{2} + C = \frac{ \pi}{2} + \frac{C-A}{2} = \frac{ \pi}{2} + \frac{ \phi}{2}$.
Объем призмы равен произведению $AA_1$ на площадь основания $ABC$, т.е.
$AA_1 \left ( \frac{1}{2} AD \cdot DB \sin \alpha + \frac{1}{2} DC \cdot DB \sin \alpha \right ) = \frac{1}{2} AA_1 \cdot DB \cdot AC \sin \alpha = \frac{1}{2} a S \cos \frac{\phi}{2}$.
Ответ. $\frac{1}{2} aS \cos \frac{ \phi}{2}$.
