Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2255
2019-03-19 
B прямоугольный параллелепипед с ребрами $a, b$ и $c$ помещен куб так, что вершина $O$ куба совпадает с вершиной параллелепипеда. Найти угол между диагоналями куба и параллелепипеда, проведенными через вершину $O$.
Решение:
Если один куб расположен внутри другого, а вершина $О$ у них общая, то диагонали этих кубов, проходящие через $О$, лежат на одной прямой. Поэтому из всех подобных кубов, которые можно поместить в параллелепипед, мы выберем максимальный.
Пусть $c < a$ и $c < b$. Тогда в параллелепипед можно поместить куб с ребром $c$ (рис.). Вычислим все стороны треугольника $ABO$ и воспользуемся теоремой косинусов:
${AB}^2 = {AO}^2 + {BO}^2 - 2AO \cdot BO \cos x, {AO}^2 = a^2 + b^2 + c^2, {BO}^2 = 3c^2, {AB}^2 = (a - c)^2 + (b - c)^2$.
Для определения $\cos x$ получим уравнение
$\sqrt {3} \sqrt {a^2 + b^2 + c^2} \cos x = c + b + a$,
которое симметрично относительно $a, b$ и $c$, а потому не зависит от соотношения между этими величинами. Убедитесь сами в том, что $\cos x$ не будет больше единицы при любых $a, b$ и $c$.
Ответ. $arccos \frac{a+b+c}{\sqrt {3} \sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}$.
B прямоугольный параллелепипед с ребрами $a, b$ и $c$ помещен куб так, что вершина $O$ куба совпадает с вершиной параллелепипеда. Найти угол между диагоналями куба и параллелепипеда, проведенными через вершину $O$.
Решение:
Если один куб расположен внутри другого, а вершина $О$ у них общая, то диагонали этих кубов, проходящие через $О$, лежат на одной прямой. Поэтому из всех подобных кубов, которые можно поместить в параллелепипед, мы выберем максимальный.
Пусть $c < a$ и $c < b$. Тогда в параллелепипед можно поместить куб с ребром $c$ (рис.). Вычислим все стороны треугольника $ABO$ и воспользуемся теоремой косинусов:
${AB}^2 = {AO}^2 + {BO}^2 - 2AO \cdot BO \cos x, {AO}^2 = a^2 + b^2 + c^2, {BO}^2 = 3c^2, {AB}^2 = (a - c)^2 + (b - c)^2$.
Для определения $\cos x$ получим уравнение
$\sqrt {3} \sqrt {a^2 + b^2 + c^2} \cos x = c + b + a$,
которое симметрично относительно $a, b$ и $c$, а потому не зависит от соотношения между этими величинами. Убедитесь сами в том, что $\cos x$ не будет больше единицы при любых $a, b$ и $c$.
Ответ. $arccos \frac{a+b+c}{\sqrt {3} \sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}$.
