Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2254
2019-03-19 
Ребро правильного тетраэдра равно $а$. Найти радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра.
Решение:
Центр шара, касающегося трех ребер правильного тетраэдра, исходящих из общей вершины, должен лежать на биссектрисе соответствующего трехгранного угла, которая совпадает с высотой тетраэдра, опущенной из этой же вершины. Поскольку все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке - центре вписанного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть треугольник $SOA$ (рис.), где $SO$ - высота тетраэдра, $SA$ - его ребро, а $О_1$ - центр искомого шара и шара, вписанного в тетраэдр.
Треугольники $SAO$ и $SO_1D$ подобны. В первом известны все стороны, во втором $SO_1 = \frac {a \sqrt {6}}{4}$. Это позволяет вычислить $R$.
Ответ. $a \sqrt {2} / 4$.
Ребро правильного тетраэдра равно $а$. Найти радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра.
Решение:
Центр шара, касающегося трех ребер правильного тетраэдра, исходящих из общей вершины, должен лежать на биссектрисе соответствующего трехгранного угла, которая совпадает с высотой тетраэдра, опущенной из этой же вершины. Поскольку все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке - центре вписанного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть треугольник $SOA$ (рис.), где $SO$ - высота тетраэдра, $SA$ - его ребро, а $О_1$ - центр искомого шара и шара, вписанного в тетраэдр.
Треугольники $SAO$ и $SO_1D$ подобны. В первом известны все стороны, во втором $SO_1 = \frac {a \sqrt {6}}{4}$. Это позволяет вычислить $R$.
Ответ. $a \sqrt {2} / 4$.
