Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2253
2019-03-19 
B правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость $A_1BC$. B образовавшуюся над этой плоскостью часть призмы вписан шар радиуса $R$. Найти объем призмы.
Решение:
Поставим четырехугольную пирамиду $A_1BB_1C_1C$, в которую вписан шар, на основание $BB_1C_1C$ (рис.). Пусть $H$ - высота призмы, $а$ - сторона основания. Радиусы окружностей с центрами $О$ и $О_1$ равны $R$. Так как треугольник $В_1A_1C_1$ правильный, то $a = 2 \sqrt {3} R$.
Рассмотрим треугольник $DA_1E$. Он прямоугольный и его площадь, с одной стороны, равна $\frac{1}{2} A_1D \cdot DE$, а с другой стороны, $\frac{R}{2} (A_1D + DE +A_1E)$. Поскольку
$DE = H, A_1D = \frac {a \sqrt {3}}{2}, A_1E = \sqrt { \frac{3a^2}{4} + H^2}$,
получаем уравнение относительно $H$б которое после подстановки $a = 2 \sqrt {3} R$ и возведения в квадрат принимает вид
$H^2 = 4HR$,
откуда $H = 4R$.
Ответ. $12 \sqrt {3} R^3$.
B правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость $A_1BC$. B образовавшуюся над этой плоскостью часть призмы вписан шар радиуса $R$. Найти объем призмы.
Решение:
Поставим четырехугольную пирамиду $A_1BB_1C_1C$, в которую вписан шар, на основание $BB_1C_1C$ (рис.). Пусть $H$ - высота призмы, $а$ - сторона основания. Радиусы окружностей с центрами $О$ и $О_1$ равны $R$. Так как треугольник $В_1A_1C_1$ правильный, то $a = 2 \sqrt {3} R$.
Рассмотрим треугольник $DA_1E$. Он прямоугольный и его площадь, с одной стороны, равна $\frac{1}{2} A_1D \cdot DE$, а с другой стороны, $\frac{R}{2} (A_1D + DE +A_1E)$. Поскольку
$DE = H, A_1D = \frac {a \sqrt {3}}{2}, A_1E = \sqrt { \frac{3a^2}{4} + H^2}$,
получаем уравнение относительно $H$б которое после подстановки $a = 2 \sqrt {3} R$ и возведения в квадрат принимает вид
$H^2 = 4HR$,
откуда $H = 4R$.
Ответ. $12 \sqrt {3} R^3$.
