Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2252
2019-03-19 
B пирамиде $ABCD$ объем $V = 48, AB = 12, CD = 8$. Расстояние между $AB$ и $CD$ равно 6. Найти угол между ребрами $AB$ и $CD$.
Решение:
Расположим пирамиду $ABCD$ так, как показано на рис Воспользуемся методом сравнения объемов по отношению к телу $ANBMCD$.
C одной стороны, его можно рассматривать как составленное из двух пирамид с общим основанием $MNCD$ и с вершинами в точках $A$ и $B$. Основание $MNCD$ - прямоугольник с известными сторонами. Bысотами будут перпендикуляры $AK$ и $BL$, опущенные на $MN$ (рис.). Так как нам нужна сумма объемов двух пирамид с общим основанием, то выразим $AK+BL$ через $AB$ и $\sin \alpha$. Тогда объем нашего тела будет выражен через $\alpha$.
C другой стороны, $V_{ANBMCD} = V_{ABCD} + V_{ABMD} + V_{ABNC}$.
Проведем $AG \parallel KL$ (рис.). Тогда
$AK + BL = GB = 12 \sin \alpha$,
$S_{MNCD} = 6 \cdot 8 = 48$,
$V_{ANBMCD} = \frac{1}{3} S_{MNCD} (AK + BL) = 4 \cdot 48 \sin \alpha$,
$S_{MANB} = \frac{1}{2} AB \cdot NM \sin \alpha = 48 \sin \alpha$,
$V_{ABCD} + V_{ABMD} + V_{ABNC} = 48 + \frac{6}{3} (S_{ABM} + S_{ABN}) = 48 + 2 S_{MANB} = 48 + 2 \cdot 48 \sin \alpha$.
Таким образом,
$48 + 2 \cdot 48 \sin \alpha = 4 \cdot 48 \sin \alpha$.
Отсюда
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
Ответ. $\alpha = \frac{ \pi}{6}$.
B пирамиде $ABCD$ объем $V = 48, AB = 12, CD = 8$. Расстояние между $AB$ и $CD$ равно 6. Найти угол между ребрами $AB$ и $CD$.
Решение:
Расположим пирамиду $ABCD$ так, как показано на рис Воспользуемся методом сравнения объемов по отношению к телу $ANBMCD$.
C одной стороны, его можно рассматривать как составленное из двух пирамид с общим основанием $MNCD$ и с вершинами в точках $A$ и $B$. Основание $MNCD$ - прямоугольник с известными сторонами. Bысотами будут перпендикуляры $AK$ и $BL$, опущенные на $MN$ (рис.). Так как нам нужна сумма объемов двух пирамид с общим основанием, то выразим $AK+BL$ через $AB$ и $\sin \alpha$. Тогда объем нашего тела будет выражен через $\alpha$.
C другой стороны, $V_{ANBMCD} = V_{ABCD} + V_{ABMD} + V_{ABNC}$.
Проведем $AG \parallel KL$ (рис.). Тогда
$AK + BL = GB = 12 \sin \alpha$,
$S_{MNCD} = 6 \cdot 8 = 48$,
$V_{ANBMCD} = \frac{1}{3} S_{MNCD} (AK + BL) = 4 \cdot 48 \sin \alpha$,
$S_{MANB} = \frac{1}{2} AB \cdot NM \sin \alpha = 48 \sin \alpha$,
$V_{ABCD} + V_{ABMD} + V_{ABNC} = 48 + \frac{6}{3} (S_{ABM} + S_{ABN}) = 48 + 2 S_{MANB} = 48 + 2 \cdot 48 \sin \alpha$.
Таким образом,
$48 + 2 \cdot 48 \sin \alpha = 4 \cdot 48 \sin \alpha$.
Отсюда
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
Ответ. $\alpha = \frac{ \pi}{6}$.
