Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2251
2019-03-19 
Найти объем тетраэдра $ABCD$, если $BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = с$.
Решение:
Осуществив построения, изображенные на рис., постараемся вычислить объем данной пирамиды как удвоенный объем пирамиды $AODC$ с вершиной в точке $A$ (равенство объемов $AODC$ и $BODC$ станет очевидным из дальнейшего). Докажем вначале, что $AFBE$ - прямоугольник. Из равенства треугольников $CFB$ и $DEA$ следует, что $EA = BF$. Аналогично $BE = FA$. Следовательно, $AFBE$ - параллелограмм. Но $EF = AB$, а потому эта фигура - прямоугольник. Чтобы найти площадь треугольника $DOC$, нужно вычислить его высоту $CF$, для чего достаточно знать стороны прямоугольника $AFBE$.
Отрезок $CF$ может быть найден из двух прилегающих к нему прямоугольных треугольников. С одной стороны, ${CF}^2 = {BC}^2- {BF}^2$, с другой стороны, ${CF}^2 = {AC}^2 - {AF}^2$, т. е. ${BF}^2 - {AF}^2 - а^2 - b^2$.
Cоставим систему уравнений:
$\begin{cases} {BF}^2 + {AF}^2 = c^2 \\ {BF}^2 – {AF}^2 = a^2 - b^2 \end{cases}$,
из которой найдем
${BF}^2 = \frac{1}{2} (a^2 - b^2 + c^2), {AF}^2 = \frac{1}{2} (c^2 - a^2 + b^2)$.
Теперь можно вычислить $CF$ и $AK$:
${CF}^2 = a^2 - \frac{1}{2}(а^2-b^2 + с^2) = \frac{1}{2} (а^2 + b^2- с^2)$,
$AK = \frac {AE \cdot AF}{EF} = \frac {\sqrt {(a^2 - b^2 + c^2)(c^2 - a^2 + b^2)}}{2c}$.
Объем пирамиды $ABCD$ равен $2 \frac{1}{3} AK \cdot \left ( \frac{1}{2} DC \cdot CF \right )$.
Ответ. $\frac{1}{6 \sqrt {2}} \sqrt {(a^2 + b^2 - c^2)(c^2 + a^2 - b^2)(c^2 - a^2 + b^2)}$.
Найти объем тетраэдра $ABCD$, если $BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = с$.
Решение:
Осуществив построения, изображенные на рис., постараемся вычислить объем данной пирамиды как удвоенный объем пирамиды $AODC$ с вершиной в точке $A$ (равенство объемов $AODC$ и $BODC$ станет очевидным из дальнейшего). Докажем вначале, что $AFBE$ - прямоугольник. Из равенства треугольников $CFB$ и $DEA$ следует, что $EA = BF$. Аналогично $BE = FA$. Следовательно, $AFBE$ - параллелограмм. Но $EF = AB$, а потому эта фигура - прямоугольник. Чтобы найти площадь треугольника $DOC$, нужно вычислить его высоту $CF$, для чего достаточно знать стороны прямоугольника $AFBE$.
Отрезок $CF$ может быть найден из двух прилегающих к нему прямоугольных треугольников. С одной стороны, ${CF}^2 = {BC}^2- {BF}^2$, с другой стороны, ${CF}^2 = {AC}^2 - {AF}^2$, т. е. ${BF}^2 - {AF}^2 - а^2 - b^2$.
Cоставим систему уравнений:
$\begin{cases} {BF}^2 + {AF}^2 = c^2 \\ {BF}^2 – {AF}^2 = a^2 - b^2 \end{cases}$,
из которой найдем
${BF}^2 = \frac{1}{2} (a^2 - b^2 + c^2), {AF}^2 = \frac{1}{2} (c^2 - a^2 + b^2)$.
Теперь можно вычислить $CF$ и $AK$:
${CF}^2 = a^2 - \frac{1}{2}(а^2-b^2 + с^2) = \frac{1}{2} (а^2 + b^2- с^2)$,
$AK = \frac {AE \cdot AF}{EF} = \frac {\sqrt {(a^2 - b^2 + c^2)(c^2 - a^2 + b^2)}}{2c}$.
Объем пирамиды $ABCD$ равен $2 \frac{1}{3} AK \cdot \left ( \frac{1}{2} DC \cdot CF \right )$.
Ответ. $\frac{1}{6 \sqrt {2}} \sqrt {(a^2 + b^2 - c^2)(c^2 + a^2 - b^2)(c^2 - a^2 + b^2)}$.
