Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2250
2019-03-19 
B правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна $а$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. B эту пирамиду вписан куб так, что его вершины лежат на апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
Решение:
Если $PP_1 = x$, то из подобия треугольников $SOE$ и $P_1PE$ (рис.) имеем
$\frac{OS}{OE} = \frac{x}{PE}$.
Выразим все входящие в последнее отношение отрезки через $x$ и известные величины. Поскольку $OC = \frac{a}{ \sqrt {2}}$, то $OS = \frac{a}{ \sqrt {2}} tg \alpha$. Отрезок $OE = \frac{a}{2}$, а $PE = OE - OP = \frac{a}{2} - \frac{ x \sqrt {2}}{2}$. Таким образом, исходная пропорция превращается в уравнение относительно $x$, решая которое находим
$x = \frac {a tg \alpha}{\sqrt {2} (1 + tg \alpha)} = \frac {a \sin \alpha}{2 \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + \alpha \right )}$.
Ответ. $\frac {a \sin \alpha}{2 \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + \alpha \right )}$.
B правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна $а$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. B эту пирамиду вписан куб так, что его вершины лежат на апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
Решение:
Если $PP_1 = x$, то из подобия треугольников $SOE$ и $P_1PE$ (рис.) имеем
$\frac{OS}{OE} = \frac{x}{PE}$.
Выразим все входящие в последнее отношение отрезки через $x$ и известные величины. Поскольку $OC = \frac{a}{ \sqrt {2}}$, то $OS = \frac{a}{ \sqrt {2}} tg \alpha$. Отрезок $OE = \frac{a}{2}$, а $PE = OE - OP = \frac{a}{2} - \frac{ x \sqrt {2}}{2}$. Таким образом, исходная пропорция превращается в уравнение относительно $x$, решая которое находим
$x = \frac {a tg \alpha}{\sqrt {2} (1 + tg \alpha)} = \frac {a \sin \alpha}{2 \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + \alpha \right )}$.
Ответ. $\frac {a \sin \alpha}{2 \sin \left ( \frac{ \pi}{4} + \alpha \right )}$.
