Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2249
2019-03-19 
B правильную треугольную пирамиду с высотой $h$ вписан куб с ребром $а$. Найти объем пирамиды.
Решение:
Верхнее основание куба будет вписано в равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$, подобный основанию $ABC$ пирамиды (рис.). Выразим сторону $A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ через сторону вписанного квадрата:
$A_1C_1 = 2A_1E_1 + a = 2a ctg 60^{\circ} + a = a \left (1 + \frac{2}{ \sqrt {3}} \right )$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ тогда равна $\frac {a^2(\sqrt {3} + 2)^2 \sqrt {3}}{12}$. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны и расстояние первого от центра подобия равно $h$, а расстояние второго равно $h-a$, то отношение площадей равно
$\frac {h^2}{(h-a)^2}$.
Поэтому площадь треугольника $ABC$ равна
$\frac {a^2 (\sqrt {3} + 2)^2 h^2}{4 \sqrt {3} (h - a)^2}$.
Ответ. $\frac {a^2h^2 (7 + 4 \sqrt {3})}{12 \sqrt {3} (h - a)^2}$.
B правильную треугольную пирамиду с высотой $h$ вписан куб с ребром $а$. Найти объем пирамиды.
Решение:
Верхнее основание куба будет вписано в равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$, подобный основанию $ABC$ пирамиды (рис.). Выразим сторону $A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ через сторону вписанного квадрата:
$A_1C_1 = 2A_1E_1 + a = 2a ctg 60^{\circ} + a = a \left (1 + \frac{2}{ \sqrt {3}} \right )$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ тогда равна $\frac {a^2(\sqrt {3} + 2)^2 \sqrt {3}}{12}$. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны и расстояние первого от центра подобия равно $h$, а расстояние второго равно $h-a$, то отношение площадей равно
$\frac {h^2}{(h-a)^2}$.
Поэтому площадь треугольника $ABC$ равна
$\frac {a^2 (\sqrt {3} + 2)^2 h^2}{4 \sqrt {3} (h - a)^2}$.
Ответ. $\frac {a^2h^2 (7 + 4 \sqrt {3})}{12 \sqrt {3} (h - a)^2}$.
