Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2247
2019-03-19 
B основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной $а$. Одна боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной $b(b \neq a)$ и перпендикулярна к плоскости основания. Найти площадь сечения, которое является квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной основанию.
Решение:
Если в сечении образуется квадрат, то плоскость сечения пересекает все четыре грани пирамиды. Кроме того, отрезок $KL$ параллелен $MN$, т. е. параллелен плоскости основания, а следовательно, и ребру $AB$.
Аналогично отрезки $KM$ и $LN$ параллельны ребру $DC$. Итак, если в сечении пирамиды - квадрат, то плоскость сечения должна быть параллельной двум скрещивающимся прямым, на которых лежат ребра $AB$ и $DC$.
Докажем обратное: если провести сечение пирамиды, плоскость которого параллельна $AB$ и $DC$, то в сечении получится прямоугольник. B самом деле, то, что это будет параллелограмм, устанавливается непосредственно. Спроектировав $DC$ на плоскость основания (рис.), мы убедимся в том, что $MN$ и $EC$ взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что прямым будет угол между $DC$ и $MN$, а значит, и между $LN$ и $MN$. Таким образом, $KLMN$ - прямоугольник.
Мы доказали, что в сечении можно получить прямоугольник только с помощью плоскости, параллельной двум скрещивающимся ребрам.
Этот прямоугольник будет квадратом, если $MN = MK$. Из подобия треугольников $ADC$ и $AMK$ находим $\frac{MK}{CD} = \frac{AM}{AC}$, причем $CD = \sqrt {{EC}^2 + {DE}^2} = \sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}, AM = a - MC = a - MN$.
Подставляя в первоначальное отношение, получим
$\frac {MK}{\sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}} = \frac {a - MN}{a}$.
Так как $MK = MN$, то получим уравнение относительно стороны квадрата, из которого
$MN = \frac {a \sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}}{\sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}} + a}$.
Ответ. $\frac {a \sqrt {2b^2 + a^2}}{\sqrt {2b^2 + a^2} + a \sqrt {2}}$.
B основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной $а$. Одна боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной $b(b \neq a)$ и перпендикулярна к плоскости основания. Найти площадь сечения, которое является квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной основанию.
Решение:
Если в сечении образуется квадрат, то плоскость сечения пересекает все четыре грани пирамиды. Кроме того, отрезок $KL$ параллелен $MN$, т. е. параллелен плоскости основания, а следовательно, и ребру $AB$.
Аналогично отрезки $KM$ и $LN$ параллельны ребру $DC$. Итак, если в сечении пирамиды - квадрат, то плоскость сечения должна быть параллельной двум скрещивающимся прямым, на которых лежат ребра $AB$ и $DC$.
Докажем обратное: если провести сечение пирамиды, плоскость которого параллельна $AB$ и $DC$, то в сечении получится прямоугольник. B самом деле, то, что это будет параллелограмм, устанавливается непосредственно. Спроектировав $DC$ на плоскость основания (рис.), мы убедимся в том, что $MN$ и $EC$ взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что прямым будет угол между $DC$ и $MN$, а значит, и между $LN$ и $MN$. Таким образом, $KLMN$ - прямоугольник.
Мы доказали, что в сечении можно получить прямоугольник только с помощью плоскости, параллельной двум скрещивающимся ребрам.
Этот прямоугольник будет квадратом, если $MN = MK$. Из подобия треугольников $ADC$ и $AMK$ находим $\frac{MK}{CD} = \frac{AM}{AC}$, причем $CD = \sqrt {{EC}^2 + {DE}^2} = \sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}, AM = a - MC = a - MN$.
Подставляя в первоначальное отношение, получим
$\frac {MK}{\sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}} = \frac {a - MN}{a}$.
Так как $MK = MN$, то получим уравнение относительно стороны квадрата, из которого
$MN = \frac {a \sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}}}{\sqrt {b^2 + \frac{a^2}{2}} + a}$.
Ответ. $\frac {a \sqrt {2b^2 + a^2}}{\sqrt {2b^2 + a^2} + a \sqrt {2}}$.
