Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2246
2019-03-19 
B правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен $\alpha$. Найти высоту данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно $а$. Ответ привести к виду, удобному для логарифмирования.
Решение:
Проведем через точку $O$ (рис.) сечение $B_1EC_1$ пирамиды, перпендикулярное к стороне $SA$. Тогда угол $B_1EC_1$ равен $\alpha$, а $OE = а$.
Так как пирамида правильная, то в силу симметрии треугольник $B_1EC_1$ равнобедренный, а $B_1C_1$ и $BC$ параллельны,.
Чтобы связать высоту $SO$ с элементами треугольника $B_1EC_1$ рассмотрим треугольник $SOA$, для которого воспользуемся сравнением площадей:
$SO \cdot OA=OE \cdot SA$. (1)
Выразим все участвующие в этом соотношении отрезки через $a, \alpha$ и $h_1$
$SO = h; OE = a$;
$OA = OC_1 ctg 30^{\circ} = \sqrt {3}a tg \frac{ \alpha}{2}$;
$AS = \sqrt {{SO}^2 + {OA}^2} = \sqrt {h^2 + 3a^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2}}$.
Подставив в уравнение (1) и возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим уравнений
$3h^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - h^2 = 3a^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2}$,
откуда
$h = \frac {\sqrt {3} a tg \frac{ \alpha}{2}}{\sqrt {3 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - 1}}$.
Чтобы привести это выражение к виду, удобному для логарифмирования, преобразуем выражение, стоящее в знаменателе под радикалом:
$3 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - 1 = 3 \left [tg^2 \frac{ \alpha}{2} - \left ( \frac{1}{ \sqrt {3}} \right )^2 \right ] = 3 \left (tg^2 \frac{ \alpha}{2} - tg^2 \frac{ \pi}{6} \right ) = 3 \frac {\sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}{\cos^2 \frac{ \alpha}{2} \cdot \left ( \frac{ \sqrt {3}}{2} \right )^2} = \frac {4 \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}{ \cos^2 \frac{ \alpha}{2}}$.
Ответ. $\frac {\sqrt {3} \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \sqrt { \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{\pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}}$.
B правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен $\alpha$. Найти высоту данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно $а$. Ответ привести к виду, удобному для логарифмирования.
Решение:
Проведем через точку $O$ (рис.) сечение $B_1EC_1$ пирамиды, перпендикулярное к стороне $SA$. Тогда угол $B_1EC_1$ равен $\alpha$, а $OE = а$.
Так как пирамида правильная, то в силу симметрии треугольник $B_1EC_1$ равнобедренный, а $B_1C_1$ и $BC$ параллельны,.
Чтобы связать высоту $SO$ с элементами треугольника $B_1EC_1$ рассмотрим треугольник $SOA$, для которого воспользуемся сравнением площадей:
$SO \cdot OA=OE \cdot SA$. (1)
Выразим все участвующие в этом соотношении отрезки через $a, \alpha$ и $h_1$
$SO = h; OE = a$;
$OA = OC_1 ctg 30^{\circ} = \sqrt {3}a tg \frac{ \alpha}{2}$;
$AS = \sqrt {{SO}^2 + {OA}^2} = \sqrt {h^2 + 3a^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2}}$.
Подставив в уравнение (1) и возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим уравнений
$3h^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - h^2 = 3a^2 tg^2 \frac{ \alpha}{2}$,
откуда
$h = \frac {\sqrt {3} a tg \frac{ \alpha}{2}}{\sqrt {3 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - 1}}$.
Чтобы привести это выражение к виду, удобному для логарифмирования, преобразуем выражение, стоящее в знаменателе под радикалом:
$3 tg^2 \frac{ \alpha}{2} - 1 = 3 \left [tg^2 \frac{ \alpha}{2} - \left ( \frac{1}{ \sqrt {3}} \right )^2 \right ] = 3 \left (tg^2 \frac{ \alpha}{2} - tg^2 \frac{ \pi}{6} \right ) = 3 \frac {\sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}{\cos^2 \frac{ \alpha}{2} \cdot \left ( \frac{ \sqrt {3}}{2} \right )^2} = \frac {4 \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{ \pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}{ \cos^2 \frac{ \alpha}{2}}$.
Ответ. $\frac {\sqrt {3} \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \sqrt { \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} - \frac{\pi}{6} \right ) \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ \pi}{6} \right )}}$.
