Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2245
2019-03-19 
B тетраэдре $ABCD$ ребро $AB = 6$, ребро $CD = 8$, а остальные ребра равны $\sqrt {74}$. Найти радиус описанного шара.
Решение:
Пусть $M$ - середина $AB$. Тогда медианы $CM$ и $DM$ (рис.) являются одновременно высотами в равнобедренных треугольниках $ABC$ и $ABD$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна к плоскости $CMD$, а потому и к прямой $CD$, лежащей в этой плоскости. Треугольник $CMD$ равнобедренный, так как $CM$ и $MD$ - медианы, проведенные к общей стороне в равных треугольниках. Следовательно, его высота $MK$ будет одновременно медианой. Итак, отрезок $KM$, соединяющий середины $AB$ и $CD$, есть общий перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому центр описанного около тетраэдра $ABCD$ шара должен лежать на этом отрезке.
Из треугольников $MDB$ и $MDK$ последовательно находим $MD = \sqrt {65}, MK = 7$. С другой стороны, из треугольников $OKD$ и $AMO$ находим $MK = KO + MO = \sqrt {R^2 - 16} + \sqrt{R^2 - 9}$.
Получаем уравнение
$\sqrt {R^2 - 16} + \sqrt {R^2 - 9} = 7$.
Ответ. $R = 5$.
B тетраэдре $ABCD$ ребро $AB = 6$, ребро $CD = 8$, а остальные ребра равны $\sqrt {74}$. Найти радиус описанного шара.
Решение:
Пусть $M$ - середина $AB$. Тогда медианы $CM$ и $DM$ (рис.) являются одновременно высотами в равнобедренных треугольниках $ABC$ и $ABD$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна к плоскости $CMD$, а потому и к прямой $CD$, лежащей в этой плоскости. Треугольник $CMD$ равнобедренный, так как $CM$ и $MD$ - медианы, проведенные к общей стороне в равных треугольниках. Следовательно, его высота $MK$ будет одновременно медианой. Итак, отрезок $KM$, соединяющий середины $AB$ и $CD$, есть общий перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому центр описанного около тетраэдра $ABCD$ шара должен лежать на этом отрезке.
Из треугольников $MDB$ и $MDK$ последовательно находим $MD = \sqrt {65}, MK = 7$. С другой стороны, из треугольников $OKD$ и $AMO$ находим $MK = KO + MO = \sqrt {R^2 - 16} + \sqrt{R^2 - 9}$.
Получаем уравнение
$\sqrt {R^2 - 16} + \sqrt {R^2 - 9} = 7$.
Ответ. $R = 5$.
