Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2244
2019-03-19 
B треугольной пирамиде $S_{ABC}$ два плоских угла $ASB$ и $BSC$ при вершине 5 равны $\alpha$, а третий плоский угол $ASC$ равен $\alpha/2$. Ребро $AS$ перпендикулярно к плоскости основания $ABC$. Найти угол $BAC$.
Решение:
Проведем в треугольнике $ABC$ (рис.) высоту $BD$ и соединим точку $D$ с вершиной $S$ пирамиды. Так как ребро $SB$ образует равные углы с ребрами $SC$ и $SA$, то $SD$ - биссектриса угла $ASC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нем
$AD = SA \cdot tg \frac{ \alpha}{4}, AB = SA \cdot tg \alpha$,
т.е.
$\cos x = \frac{AD}{AB} = \frac{ tg \frac{ \alpha}{4}}{ tg \alpha}$.
Так как $\alpha$ - угол прямоугольного треугольника, то $0 < \alpha < \frac{ \pi}{2}$, а потому $tg \frac{ \alpha}{4} < tg \alpha$ и правая часть уравнения меньше единицы.
Ответ. $x = arccos {\frac {tg \frac{ \alpha}{4}}{tg \alpha}}$.
B треугольной пирамиде $S_{ABC}$ два плоских угла $ASB$ и $BSC$ при вершине 5 равны $\alpha$, а третий плоский угол $ASC$ равен $\alpha/2$. Ребро $AS$ перпендикулярно к плоскости основания $ABC$. Найти угол $BAC$.
Решение:
Проведем в треугольнике $ABC$ (рис.) высоту $BD$ и соединим точку $D$ с вершиной $S$ пирамиды. Так как ребро $SB$ образует равные углы с ребрами $SC$ и $SA$, то $SD$ - биссектриса угла $ASC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нем
$AD = SA \cdot tg \frac{ \alpha}{4}, AB = SA \cdot tg \alpha$,
т.е.
$\cos x = \frac{AD}{AB} = \frac{ tg \frac{ \alpha}{4}}{ tg \alpha}$.
Так как $\alpha$ - угол прямоугольного треугольника, то $0 < \alpha < \frac{ \pi}{2}$, а потому $tg \frac{ \alpha}{4} < tg \alpha$ и правая часть уравнения меньше единицы.
Ответ. $x = arccos {\frac {tg \frac{ \alpha}{4}}{tg \alpha}}$.
