ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-19   
Две грани треугольной пирамиды - равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой $AB$. Двугранный угол при $AB$ равен $\alpha$. Найти двугранный угол, у которого ребро есть катет.


Решение:



Рассмотрим два случая: $\alpha \leq \frac{ \pi}{2}, \alpha > \frac{ \pi}{2}$.

Если угол $\alpha$ не тупой, то (рис.) $CD = SD = \frac{ AB}{2}$. Пусть $SO$ - высота пирамиды, $SD$ и $SE$ - высоты в треугольниках $ASB$ и $CSB$. Из треугольника $SOD$

$OS = SD \sin \alpha = \frac{AB}{2} \sin \alpha, OD = \frac{AB}{2} \cos \alpha$.

В треугольнике $COE$ угол $OEC$ прямой, а угол $OCE$ равен $45^{\circ}$. Поэтому

$OE = \frac{ OC}{ \sqrt {2}} = \frac{1}{ \sqrt {2}} (CD - OD) = \frac{AB}{ 2 \sqrt {2}} (1 - \cos \alpha)$.

Теперь можно найти тангенс искомого угла:

$tg x = \frac{OS}{OE} = \sqrt {2} ctg \frac{ \alpha}{2}$.

Если угол $\alpha$ тупой, то (рис.) снова получим, что $CD = SD = \frac{AB}{2}$. Высота $OS$ равна

$OS = SD \sin (\pi - \alpha) = \frac{AB}{2} \sin \alpha$,

отрезок $OD$ равен

$OD = SD \cos (\pi - \alpha) = - \frac{AB}{2} \cos \alpha$

(угол $\alpha$ тупой и $\cos \alpha < 0)$. Треугольник $COE$ тоже прямоугольный и равнобедренный. Поэтому

$OE = \frac{CO}{ \sqrt {2}} = \frac{1}{ \sqrt {2}} (CD +OD) = \frac{AB}{2 \sqrt {2}} (1 - \cos \alpha$. (

Так как для $OE$ и $OS$ получились такие же значения, как в первом случае, то и окончательный результат не изменится.
Ответ. $x = arctg \left ( \sqrt {2} ctg \frac{ \alpha}{2} \right )$.