Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2242
2019-03-19 
B треугольной пирамиде $S_{ABC}$ все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках $A$ и $B$ равны $\alpha, AB = а$. Определить объем пирамиды.
Решение:
Объем пирамиды $SABC$ (рис.) равен удвоенному объему пирамиды с основанием $DSC$ и высотой $AD$. Так как $AD = \frac{a}{2}$, то этот объем равен $\frac{Sa}{6}$, а объем всей пирамиды $\frac{Sa}{3}$, где через $S$ обозначена площадь SDC.
Проведем высоту $DE$ и вычислим $EC$ и $DE$.
Треугольник $CAS$ равнобедренный ($AS = AC$), поэтому
$EC = AC \sin \frac{ \alpha}{2} = \frac { a}{2 \cos \alpha} \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Так как $DC = \frac{a}{2} tg \alpha$, то
$DE = \sqrt {{DC}^2 - {EC}^2} = \sqrt { \frac{a^2}{4} tg^2 \alpha - \frac{a^2}{4} \frac {\sin^2 \frac{ \alpha}{2}}{ \cos^2 \alpha}} = \frac {a}{2 \cos \alpha} \sqrt {\sin^2 \alpha - \sin^2 \frac{ \alpha}{2}} = \frac {a}{2 \cos \alpha} \sqrt {4 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \cos^2 \frac{ \alpha}{2} - \sin^2 \frac{ \alpha}{2}} = \frac {a \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \sqrt {4 \cos^2 \frac{ \alpha}{2} - 1} = \frac {a \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \sqrt {1 + 2 \cos \alpha}$.
Отсюда вычислить объем:
$V = \frac{aS}{3} = \frac{a}{3} \cdot DE \cdot EC$.
Ответ. $\frac {a^3}{12 \cos^2 \alpha} \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \sqrt {1 + 2 \cos \alpha}$.
B треугольной пирамиде $S_{ABC}$ все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках $A$ и $B$ равны $\alpha, AB = а$. Определить объем пирамиды.
Решение:
Объем пирамиды $SABC$ (рис.) равен удвоенному объему пирамиды с основанием $DSC$ и высотой $AD$. Так как $AD = \frac{a}{2}$, то этот объем равен $\frac{Sa}{6}$, а объем всей пирамиды $\frac{Sa}{3}$, где через $S$ обозначена площадь SDC.
Проведем высоту $DE$ и вычислим $EC$ и $DE$.
Треугольник $CAS$ равнобедренный ($AS = AC$), поэтому
$EC = AC \sin \frac{ \alpha}{2} = \frac { a}{2 \cos \alpha} \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Так как $DC = \frac{a}{2} tg \alpha$, то
$DE = \sqrt {{DC}^2 - {EC}^2} = \sqrt { \frac{a^2}{4} tg^2 \alpha - \frac{a^2}{4} \frac {\sin^2 \frac{ \alpha}{2}}{ \cos^2 \alpha}} = \frac {a}{2 \cos \alpha} \sqrt {\sin^2 \alpha - \sin^2 \frac{ \alpha}{2}} = \frac {a}{2 \cos \alpha} \sqrt {4 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \cos^2 \frac{ \alpha}{2} - \sin^2 \frac{ \alpha}{2}} = \frac {a \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \sqrt {4 \cos^2 \frac{ \alpha}{2} - 1} = \frac {a \sin \frac{ \alpha}{2}}{2 \cos \alpha} \sqrt {1 + 2 \cos \alpha}$.
Отсюда вычислить объем:
$V = \frac{aS}{3} = \frac{a}{3} \cdot DE \cdot EC$.
Ответ. $\frac {a^3}{12 \cos^2 \alpha} \sin^2 \frac{ \alpha}{2} \sqrt {1 + 2 \cos \alpha}$.
