Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2241
2019-03-19 
Высота треугольной пирамиды $ABCD$, опущенная из вершины $D$ проходит через точку пересечения высот треугольника $ABC$. Кроме того, известно, что $DB=b, DC=c, \angle BDC = 90^{\circ}$. Найти отношение площадей граней $ADB$ и $ADC$.
Решение:
По условию высота $DO$ пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку $O$ с вершиной $C$ и продолжив до пересечения с $AB$, получим отрезок $CE$, являющийся высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $AB$ (рис.). Прямая $AB$ перпендикулярна к $DO$ и $EC$, следовательно, прямые $AB$ и $CD$ тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна к двум прямым $BD$ и $AB$ плоскости $ABD$, а потому перпендикулярна к прямой $AD$. Mы доказали, что угол $ADC$ прямой. Аналогично доказывается, что прямые $BD$ и $AD$ тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника $ADB$ равна $\frac{1}{2} b \cdot AD$, а площадь треугольника $ADC$ равна $\frac{1}{2} c \cdot AD$. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.
Ответ. $\frac{b}{c}$.
Высота треугольной пирамиды $ABCD$, опущенная из вершины $D$ проходит через точку пересечения высот треугольника $ABC$. Кроме того, известно, что $DB=b, DC=c, \angle BDC = 90^{\circ}$. Найти отношение площадей граней $ADB$ и $ADC$.
Решение:
По условию высота $DO$ пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку $O$ с вершиной $C$ и продолжив до пересечения с $AB$, получим отрезок $CE$, являющийся высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $AB$ (рис.). Прямая $AB$ перпендикулярна к $DO$ и $EC$, следовательно, прямые $AB$ и $CD$ тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна к двум прямым $BD$ и $AB$ плоскости $ABD$, а потому перпендикулярна к прямой $AD$. Mы доказали, что угол $ADC$ прямой. Аналогично доказывается, что прямые $BD$ и $AD$ тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника $ADB$ равна $\frac{1}{2} b \cdot AD$, а площадь треугольника $ADC$ равна $\frac{1}{2} c \cdot AD$. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.
Ответ. $\frac{b}{c}$.
