Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2240
2019-03-19 
B правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен $\alpha$. Через ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол $\beta$. B каком отношении она делит площади тех боковых граней, которые она рассекает на два треугольника?
Решение:
Треугольники $DAM$ и $DMS$ (рис.) имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований $AM$ и $MS$.
Из подобия треугольников $MSF$ и $ASK$ следует, что $AM:MS = KF : FS$.
Отрезки $KF$ и $FS$ выразим через $KE$. По теореме синусов для треугольника $KFE$ имеем
$KF = KE \frac {\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$.
Так как $KS = \frac{KE}{ 2 \cos \alpha}$, то
$FS = KS - KF = \frac{KE}{ 2 \cos \alpha} - KE \frac {\sin \beta}{ \sin (\alpha + \beta)} = KE \frac{ \sin ( \alpha - \beta) }{2 \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta)}$
(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника $EFS$).
Остается найти отношение $KF : FS$.
Ответ. $\frac {2 \sin \beta \cos \alpha}{\sin (\alpha - \beta)}$.
B правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен $\alpha$. Через ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол $\beta$. B каком отношении она делит площади тех боковых граней, которые она рассекает на два треугольника?
Решение:
Треугольники $DAM$ и $DMS$ (рис.) имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований $AM$ и $MS$.
Из подобия треугольников $MSF$ и $ASK$ следует, что $AM:MS = KF : FS$.
Отрезки $KF$ и $FS$ выразим через $KE$. По теореме синусов для треугольника $KFE$ имеем
$KF = KE \frac {\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$.
Так как $KS = \frac{KE}{ 2 \cos \alpha}$, то
$FS = KS - KF = \frac{KE}{ 2 \cos \alpha} - KE \frac {\sin \beta}{ \sin (\alpha + \beta)} = KE \frac{ \sin ( \alpha - \beta) }{2 \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta)}$
(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника $EFS$).
Остается найти отношение $KF : FS$.
Ответ. $\frac {2 \sin \beta \cos \alpha}{\sin (\alpha - \beta)}$.
