ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-19   
B пирамиде $ABCD$ дано: $BC = a, CA = b, AB = c, DA = a_1, DB = b_1, DC = c_1$. Найти косинус острого угла между скрещивающимися ребрами $AD$ и $BC$ этой пирамиды.


Решение:



Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCE$ (рис.). Угол $DAE$ равен углу между $AD$ и $BC$. Обозначим его через $x$.

B треугольнике $DAE$

$AD=a_1, AE = a$.

Вычислим $DE$. Так как в дальнейшем мы воспользуемся теоремой косинусов, то удобнее находить ${DE}^2$.

Отрезок $DO$ является медианой в треугольниках $ADC$ и $BDE$:

$4{OD}^2 = 2{a_1}^2 + 2{c_1}^2 - b^2$,
$4{OD}^2 = 2 {b_1}^2 + 2 {DE}^2 - {BE}^2$.

Чтобы найти ${ED}^2$, достаточно вычислить ${BE}^2$. Но $BE$ - диагональ параллелограмма $ABCE$, т. е.

${BE}^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2$.

Следовательно,

${DE}^2 = {a_1}^2 + {c_1}^2 - {b_1}^2 + a^2 + c^2 - b^2$.

Применим к треугольнику $ADE$ теорему косинусов:

${DE}^2 = {a_1}^2 + a^2 - 2 aa_1 \cos x$.

Приравнивая два выражения для ${DE}^2$ найдем $\cos х$. Прн этом следует иметь в виду, что, по определению угла между скрещивающимися прямыми, $х$ - острый угол.
Ответ. $\frac {|b^2 +{b_1}^2 - c^2 - {c_1}^2|}{2aa_1}$.