Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2237
2019-03-19 
Доказать, что в усеченной пирамиде сторона квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов, равновеликих основаниям пирамиды.
Решение:
Достроим пирамиду до полной. Bсе параллельные сечения пирамиды подобны. Составим схематический чертеж (рис.), на котором $A$ и $B$ - стороны квадратов, равновеликих основаниям, $M$ - сторона квадрата, равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем так:
$H - h_2 = \frac {H-h_1}{2}$, т.е. $h_2 = \frac{H+h_1}{2}$.
Из подобия треугольников, изображенных на рис., следует, что
$\frac{A}{B} = \frac{H}{h_1}, \frac{M}{B} = \frac{h_2}{h_1}$,
откуда
$A = \frac{H}{h_1} B, M = \frac{h_2}{h_1} B$.
Cоставим среднее арифметическое величин $A$ и $B$:
$\frac{A+B}{2} = \frac { \frac{H}{h_1} B + B}{2} = \frac {H + h_1}{2h_1} B = \frac{h_2}{h_1} B = M$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что в усеченной пирамиде сторона квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов, равновеликих основаниям пирамиды.
Решение:
Достроим пирамиду до полной. Bсе параллельные сечения пирамиды подобны. Составим схематический чертеж (рис.), на котором $A$ и $B$ - стороны квадратов, равновеликих основаниям, $M$ - сторона квадрата, равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем так:
$H - h_2 = \frac {H-h_1}{2}$, т.е. $h_2 = \frac{H+h_1}{2}$.
Из подобия треугольников, изображенных на рис., следует, что
$\frac{A}{B} = \frac{H}{h_1}, \frac{M}{B} = \frac{h_2}{h_1}$,
откуда
$A = \frac{H}{h_1} B, M = \frac{h_2}{h_1} B$.
Cоставим среднее арифметическое величин $A$ и $B$:
$\frac{A+B}{2} = \frac { \frac{H}{h_1} B + B}{2} = \frac {H + h_1}{2h_1} B = \frac{h_2}{h_1} B = M$,
что и требовалось доказать.
