Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2235
2019-03-19 
B тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найти отношение объемов тетраэдров.
Решение:
Hа рис. треугольники $AEC$ и $C_1EA_1$ подобны, так как медианы $AE$ и $CE$: делятся точками $C_1$ и $A_1$ в одинаковом отношении 2:1.
Поэтому $C_1A_1 = \frac{1}{3} AC$. Аналогично доказывается, что $B_1A_1 = \frac{1}{3} AB$ и $C_1B_1 = \frac{1}{3} BC$ и т. д., т. е. площади $S_1$ и $S$ оснований пирамиды относятся, как 1:9. Подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в параллельных плоскостях, так как их стороны параллельны. Следовательно, высоты $DN$ и $D_1N_1$ проведенные в тетраэдрах, параллельны и прямоугольные треугольники $DNC$ и $D_lN_1C_1$ подобны, т. е. $D_1N_1 = \frac{1}{3} DN$. Остается сравнить объемы $\frac{V_1}{V} = \frac {S_1 \cdot D_1N_1}{S \cdot DN}$.
Ответ. $\frac{1}{27}$.
B тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найти отношение объемов тетраэдров.
Решение:
Hа рис. треугольники $AEC$ и $C_1EA_1$ подобны, так как медианы $AE$ и $CE$: делятся точками $C_1$ и $A_1$ в одинаковом отношении 2:1.
Поэтому $C_1A_1 = \frac{1}{3} AC$. Аналогично доказывается, что $B_1A_1 = \frac{1}{3} AB$ и $C_1B_1 = \frac{1}{3} BC$ и т. д., т. е. площади $S_1$ и $S$ оснований пирамиды относятся, как 1:9. Подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в параллельных плоскостях, так как их стороны параллельны. Следовательно, высоты $DN$ и $D_1N_1$ проведенные в тетраэдрах, параллельны и прямоугольные треугольники $DNC$ и $D_lN_1C_1$ подобны, т. е. $D_1N_1 = \frac{1}{3} DN$. Остается сравнить объемы $\frac{V_1}{V} = \frac {S_1 \cdot D_1N_1}{S \cdot DN}$.
Ответ. $\frac{1}{27}$.
