Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2234
2019-03-19 
B правильной треугольной пирамиде площадь основания равна $\sqrt {3}$, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найти площадь боковой поверхности.
Решение:
Так. как площадь основания равна $\sqrt {3}$, то сторона основания равна 2. Из треугольника $AOS$ (рис.) находим $AO = b \cos x$; с другой стороны,
$AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot \frac {a \sqrt {3}}{2}$.
Поэтому
$\frac {a}{\sqrt {3}}= b \cos x$.
Из треугольника $CDS$ находим $CD = \frac{a}{2} = b \sin 2x$. Разделив второе соотношение на первое, получим
$\sin x = \frac{ \sqrt {3}}{4}$.
Так как $SD = \frac{a}{2} ctg 2 x$, то нужно вычислить $ctg 2 x$:
$ctg x = \sqrt {cosec^2 x - 1} = \sqrt { \frac{16}{3} - 1} = \sqrt { \frac{13}{3}}, ctg 2x = \frac{5}{ \sqrt {39}}$.
Следовательно, $SD = \frac{5}{ \sqrt {39}}$, а площадь боковой поверхности равна $\frac{3}{2} a \cdot SD$.
Ответ. $\frac{15}{ \sqrt {39}}$.
B правильной треугольной пирамиде площадь основания равна $\sqrt {3}$, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найти площадь боковой поверхности.
Решение:
Так. как площадь основания равна $\sqrt {3}$, то сторона основания равна 2. Из треугольника $AOS$ (рис.) находим $AO = b \cos x$; с другой стороны,
$AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot \frac {a \sqrt {3}}{2}$.
Поэтому
$\frac {a}{\sqrt {3}}= b \cos x$.
Из треугольника $CDS$ находим $CD = \frac{a}{2} = b \sin 2x$. Разделив второе соотношение на первое, получим
$\sin x = \frac{ \sqrt {3}}{4}$.
Так как $SD = \frac{a}{2} ctg 2 x$, то нужно вычислить $ctg 2 x$:
$ctg x = \sqrt {cosec^2 x - 1} = \sqrt { \frac{16}{3} - 1} = \sqrt { \frac{13}{3}}, ctg 2x = \frac{5}{ \sqrt {39}}$.
Следовательно, $SD = \frac{5}{ \sqrt {39}}$, а площадь боковой поверхности равна $\frac{3}{2} a \cdot SD$.
Ответ. $\frac{15}{ \sqrt {39}}$.
