Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2233
2019-03-19 
Oснованием пирамиды $DABC$ служит равнобедренный треугольник $ABC$ с площадью $S$ и основанием $AB = а$. Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найти угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен $V$.
Решение:
Так как $AC = BC$ по условию (рис.), то прямоугольные треугольники $ADC$ и $BDC$ равны и, следовательно, $AD = BD$. Треугольник $ADB$ - равнобедренный, его медиана $DE$, проведенная из вершины $D$, будет одновременно и высотой. Таким образом, мы доказали, что двугранный угол при ребре $AB$ измеряется линейным углом $DEC$, который обозначим через $x$
Высота $DO$ треугольника $EDC$ будет высотой пирамиды. B самом деле, ребро $AB$ перпендикулярно к $ED$ и $E0$, т. е. к плоскости $EDC$. Отрезок $DO$, следовательно, перпендикулярен не только к $EC$, но и к $AB$, т. е, перпендикулярен к плоскости $ABC$.
Заметим также, что $CD$ - перпендикуляр к плоскости $ADB$, а поэтому треугольник $EDC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.
Мы знаем, что $V = \frac{1}{2} S \cdot OD$. Отрезок $OD$ равен $ED \sin x$, а отрезок $ED$ в свою очередь равен $EC \cos x$ т.е. $\frac{2S}{a} \cos x$.
Итак,
$V = \frac{1}{3} S \cdot \frac{2S}{a} \cos x \sin x$,
откуда $\sin 2x = \frac{3Va}{S^2}$.
Чтобы найти $x$, заметим, что угол $x$ острый.
Ответ. $\frac{1}{2} arcsin \frac{3aV}{S^2}$.
Oснованием пирамиды $DABC$ служит равнобедренный треугольник $ABC$ с площадью $S$ и основанием $AB = а$. Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найти угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен $V$.
Решение:
Так как $AC = BC$ по условию (рис.), то прямоугольные треугольники $ADC$ и $BDC$ равны и, следовательно, $AD = BD$. Треугольник $ADB$ - равнобедренный, его медиана $DE$, проведенная из вершины $D$, будет одновременно и высотой. Таким образом, мы доказали, что двугранный угол при ребре $AB$ измеряется линейным углом $DEC$, который обозначим через $x$
Высота $DO$ треугольника $EDC$ будет высотой пирамиды. B самом деле, ребро $AB$ перпендикулярно к $ED$ и $E0$, т. е. к плоскости $EDC$. Отрезок $DO$, следовательно, перпендикулярен не только к $EC$, но и к $AB$, т. е, перпендикулярен к плоскости $ABC$.
Заметим также, что $CD$ - перпендикуляр к плоскости $ADB$, а поэтому треугольник $EDC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.
Мы знаем, что $V = \frac{1}{2} S \cdot OD$. Отрезок $OD$ равен $ED \sin x$, а отрезок $ED$ в свою очередь равен $EC \cos x$ т.е. $\frac{2S}{a} \cos x$.
Итак,
$V = \frac{1}{3} S \cdot \frac{2S}{a} \cos x \sin x$,
откуда $\sin 2x = \frac{3Va}{S^2}$.
Чтобы найти $x$, заметим, что угол $x$ острый.
Ответ. $\frac{1}{2} arcsin \frac{3aV}{S^2}$.
