Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2232
2019-03-19 
Найти объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной $a$, если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$.
Решение:
Обозначим высоту $SO$ пирамиды через $H$. Предположим, что вершина пирамиды спроектируется в точку $O$, лежащую внутри треугольника $ABC$, и пусть углы $SDO, SEO$ и $SFO$ измеряют данные двугранные углы (рис.).
Рассмотрим отдельно треугольник $ABC$ (рис.). Площадь его, с одной стороны, равна сумме площадей треугольников $AOB, BOC$ и $COA$, а с другой стороны, равна $\frac {a^2 \sqrt{3}}{4}$. Поэтому
$\frac{1}{2} a (OF + OD + OE) = \frac {a^2 \sqrt{3}}{4}$,
т.е.
$OF + OD + OE = \frac {a \sqrt{3}}{2}$.
Каждый из отрезков $OF, OD$ и $OE$ можно выразить через $H$:
$OD = H ctg \alpha, OE = H ctg \beta, OF = H ctg \gamma$.
Следовательно,
$H = \frac {a \sqrt {3}}{2 (ctg \alpha + ctg \beta + ctg \gamma)}$.
Если точка $O$ лежит вне треугольника $ABC$, то один из данных двугранных углов тупой (на рис., в угол при $BC$, т. е. $ \alpha$). Следовательно, его котангенс будет отрицательным. Это соответствует тому факту, что площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABO$ и $AOC$ за вычетом площади треугольника $BOC$. Таким образом, результат останется таким же, как в случае, когда $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.
Наконец, как легко убедиться, полученная формула дает верный результат и в том случае, когда точка $O$ лежит на стороне треугольника $ABC$ или совпадает с его вершиной. (Соответствующие котангенсы обращаются в нуль.)
Ответ. $V = \frac {a^3}{8 (ctg \alpha + ctg \beta + ctg \gamma)}$.
Найти объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной $a$, если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны $\alpha, \beta$ и $\gamma$.
Решение:
Обозначим высоту $SO$ пирамиды через $H$. Предположим, что вершина пирамиды спроектируется в точку $O$, лежащую внутри треугольника $ABC$, и пусть углы $SDO, SEO$ и $SFO$ измеряют данные двугранные углы (рис.).
Рассмотрим отдельно треугольник $ABC$ (рис.). Площадь его, с одной стороны, равна сумме площадей треугольников $AOB, BOC$ и $COA$, а с другой стороны, равна $\frac {a^2 \sqrt{3}}{4}$. Поэтому
$\frac{1}{2} a (OF + OD + OE) = \frac {a^2 \sqrt{3}}{4}$,
т.е.
$OF + OD + OE = \frac {a \sqrt{3}}{2}$.
Каждый из отрезков $OF, OD$ и $OE$ можно выразить через $H$:
$OD = H ctg \alpha, OE = H ctg \beta, OF = H ctg \gamma$.
Следовательно,
$H = \frac {a \sqrt {3}}{2 (ctg \alpha + ctg \beta + ctg \gamma)}$.
Если точка $O$ лежит вне треугольника $ABC$, то один из данных двугранных углов тупой (на рис., в угол при $BC$, т. е. $ \alpha$). Следовательно, его котангенс будет отрицательным. Это соответствует тому факту, что площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABO$ и $AOC$ за вычетом площади треугольника $BOC$. Таким образом, результат останется таким же, как в случае, когда $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.
Наконец, как легко убедиться, полученная формула дает верный результат и в том случае, когда точка $O$ лежит на стороне треугольника $ABC$ или совпадает с его вершиной. (Соответствующие котангенсы обращаются в нуль.)
Ответ. $V = \frac {a^3}{8 (ctg \alpha + ctg \beta + ctg \gamma)}$.
