Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2231
2019-03-19 
Hа плоскости $P$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Из точек $B$ и $C$ восставлены перпендикуляры к плоскости $P$ и на них отложены отрезки $CE = a \sqrt {2}$ и $BD = a/ \sqrt{2}$ (с одной стороны от плоскости $P$). Найти площадь треугольника $DEA$ и косинус угла между плоскостью $P$ и плоскостью этого треугольника.
Решение:
Продолжим $ED$ и $CB$ (рис.) до пересечения в точке $F$ и проведем $AF$ - ребро двугранного угла, косинус которого нужно найти.
Tак как $EC = 2DB$ (по условию), то $DB$ - средняя линия в треугольнике $EFC$. Поэтому $FB = BC = а$. Поскольку $BA = a$, то треугольник $FBA$ равнобедренный. Сумма его углов, прилежащих к $FA$, равна $60^{\circ}$, а угол $BAF$ равен $30^{\circ}$.
Mы убедились в том, что угол $CAF$ прямой, а следовательно, линейный угол $EAC$ измеряет искомый двугранный угол. Теперь остаются простые вычисления:
$EA = \sqrt {{EC}^2 + {AC}^2} = a \sqrt {3}$, $\cos \angle EAC = \frac {a}{a \sqrt {3}} = \frac{1}{ \sqrt {3}}$.
По теореме о трех перпендикулярах отрезки $EA$ и $FA$ взаимно перпендикулярны; поэтому площадь треугольника $EAF$ равна $\frac{1}{2} EA \cdot AF$, где $AF = a \sqrt {3}$. Итак, площадб треугольника $EAF$ равна $\frac{3a^2}{2}$, и вследствие того, что $FD = DE$,площадь треугольника $DEA$ в два раза меньше.
Ответ. $\frac{3a^2}{4}, \frac{1}{ \sqrt {3}}$.
Hа плоскости $P$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Из точек $B$ и $C$ восставлены перпендикуляры к плоскости $P$ и на них отложены отрезки $CE = a \sqrt {2}$ и $BD = a/ \sqrt{2}$ (с одной стороны от плоскости $P$). Найти площадь треугольника $DEA$ и косинус угла между плоскостью $P$ и плоскостью этого треугольника.
Решение:
Продолжим $ED$ и $CB$ (рис.) до пересечения в точке $F$ и проведем $AF$ - ребро двугранного угла, косинус которого нужно найти.
Tак как $EC = 2DB$ (по условию), то $DB$ - средняя линия в треугольнике $EFC$. Поэтому $FB = BC = а$. Поскольку $BA = a$, то треугольник $FBA$ равнобедренный. Сумма его углов, прилежащих к $FA$, равна $60^{\circ}$, а угол $BAF$ равен $30^{\circ}$.
Mы убедились в том, что угол $CAF$ прямой, а следовательно, линейный угол $EAC$ измеряет искомый двугранный угол. Теперь остаются простые вычисления:
$EA = \sqrt {{EC}^2 + {AC}^2} = a \sqrt {3}$, $\cos \angle EAC = \frac {a}{a \sqrt {3}} = \frac{1}{ \sqrt {3}}$.
По теореме о трех перпендикулярах отрезки $EA$ и $FA$ взаимно перпендикулярны; поэтому площадь треугольника $EAF$ равна $\frac{1}{2} EA \cdot AF$, где $AF = a \sqrt {3}$. Итак, площадб треугольника $EAF$ равна $\frac{3a^2}{2}$, и вследствие того, что $FD = DE$,площадь треугольника $DEA$ в два раза меньше.
Ответ. $\frac{3a^2}{4}, \frac{1}{ \sqrt {3}}$.
