ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-18   
B пространстве даны два луча $A_x$ и $B_y$, не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол $90^{\circ}$; $AB$ - их общий перпендикуляр. На лучах $A_x$ и $B_y$ взяты точки: $M$ на $A_x$ и $P$ на $B_y$, такие, что $2AM \cdot BP = {AB}^2$. Доказать, что расстояние от середины $O$ отрезка $AB$ до прямой $MP$ равно $1/2AB$.


Решение:



Если $OK = 1/2 AB = OA$, то (рис.) равны. Таким образом, условие $OK = OA$ равносильно условию $AM = KM$ и (совершенно аналогично) условию $BP = KP$.

Отрезок $OK$ входит в оба треугольника $OKM$ и $OKP$:

${OK}^2 = {OM}^2 - m^2, {OK}^2 = {OP}^2 - l^2$,

т.е.

${OM}^2 - m^2 = {OP}^2 - l^2$

(через $m$ и $l$ обозначены длины отрезков $MK$ и $KP$ соответственно).
Так как ${OM}^2 = a^2 + {AO}^2$, а ${OP}^2 = b^2 + {OB}^2$ и $AO = OB$, то

$a^2 - m^2 = b^2 - l^2$

или

$m^2 - l^2 = a^2 - b^2$. (1)

Точно так же приравняем выражения для отрезка ${AP}^2$, полученные из треугольников $MAP$ и $ABP$:

$(m+l)^2 - a^2 = b^2 + {AB}^2$.

Вспомнив, что по условию ${AB}^2 = 2ab$, получим $(m + l)^2 = a^2 + 2 ab + b^2$, т.е.

$m+l = a+b$. (2)

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим

$m - l = a - b$ (3),

а решая систему из уравнений (2) и (3), найдем $m = a, b = l$, что и требовалось доказать.