Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2227
2019-03-18 
Даны четыре скрещивающиеся прямые: $а, b, с$ и $d$. Построить прямую, параллельную $а$ и одинаково удаленную от остальных трех прямых.
Решение:
Построим плоскость $P$, перпендикулярную к прямой $а$, и спроектируем на нее прямые $b, с$ и $d$. Искомая прямая параллельна $а$, т. е. должна спроектироваться в точку $O$ на плоскости $P$. Точка $O$ будет одинаково удалена от проекций $b_1, c_1$ и $d_1$ трех этих прямых.
Поскольку прямые $a, b, с$ и $d$ скрещивающиеся, ни одна из прямых $b, с$ и $d$ не может спроектироваться в точку на плоскости $P$, так как иначе она оказалась бы параллельной прямой $а$.
Проекции никаких двух прямых из $b, с, d$ не сольются, так как это означало бы, что эти две прямые лежат в одной плоскости. Поэтому проекции $b_1, с_1$ и $d_1$ могут расположиться на плоскости $P$ лишь одним из четырех способов (рис.).
B первом случае (проекции образуют треугольник) мы получим четыре точки, равноотстоящие от $b_1, c_1$ и $d_1$. Это - центры вписанной и вневписанных окружностей. Проводя через каждую из них прямую, перпендикулярную к плоскости $P$, придем к четырем решениям.
Bо втором случае (две из проекций параллельны), получим два решения (рис.).
В третьем случае (проекции пересекаются в одной точке) будет единственное решение - прямая, проходящая через общую для трех проекции точку.
B последнем случае (проекции $b_1, с_1$ и $d_1$ параллельны) решения нет.
Tак как все возможные случаи исчерпаны, то задача решена.
Даны четыре скрещивающиеся прямые: $а, b, с$ и $d$. Построить прямую, параллельную $а$ и одинаково удаленную от остальных трех прямых.
Решение:
Построим плоскость $P$, перпендикулярную к прямой $а$, и спроектируем на нее прямые $b, с$ и $d$. Искомая прямая параллельна $а$, т. е. должна спроектироваться в точку $O$ на плоскости $P$. Точка $O$ будет одинаково удалена от проекций $b_1, c_1$ и $d_1$ трех этих прямых.
Поскольку прямые $a, b, с$ и $d$ скрещивающиеся, ни одна из прямых $b, с$ и $d$ не может спроектироваться в точку на плоскости $P$, так как иначе она оказалась бы параллельной прямой $а$.
Проекции никаких двух прямых из $b, с, d$ не сольются, так как это означало бы, что эти две прямые лежат в одной плоскости. Поэтому проекции $b_1, с_1$ и $d_1$ могут расположиться на плоскости $P$ лишь одним из четырех способов (рис.).
B первом случае (проекции образуют треугольник) мы получим четыре точки, равноотстоящие от $b_1, c_1$ и $d_1$. Это - центры вписанной и вневписанных окружностей. Проводя через каждую из них прямую, перпендикулярную к плоскости $P$, придем к четырем решениям.
Bо втором случае (две из проекций параллельны), получим два решения (рис.).
В третьем случае (проекции пересекаются в одной точке) будет единственное решение - прямая, проходящая через общую для трех проекции точку.
B последнем случае (проекции $b_1, с_1$ и $d_1$ параллельны) решения нет.
Tак как все возможные случаи исчерпаны, то задача решена.
