Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 222
2014-06-07 
Доказать, что у любого выпуклого многоугольника найдется такая тройка соседних вершин, что проходящая через них окружность ограничивает круг, покрывающий весь многоугольник.
Решение:
Среди всех окружностей, проходящих через какие-либо три вершины данного многоугольника, две из которых являются соседними, а соединяющая их сторона рис. видна из третьей вершины под углом, не превосходящим $90^{\circ}$ (множество таких троек вершин не пусто, ибо оно содержит любую тройку соседних вершин), выберем окружность Г наибольшего радиуса $R$. Пусть для определенности она проходит через соседние вершины $A_{1},A_{2}$ и некоторую вершину А многоугольника, причем $\angle AA_{1}A_{2} \leq 90^{\circ}$ (рис.). Пусть какая-либо вершина В данного многоугольника лежит вне круга, ограниченного выбранной окружностью Г. Поскольку точка В лежит в той же полуплоскости относительно прямой $A_{1}A_{2}$, что и точка А, то
$\angle A_{1}BA_{2} < \angle A_{1}AA_{2} \leq 90^{\circ}$
и (по теореме синусов) радиус описанной около треугольника $A_{1}A_{2}B$ окружности больше $R$, что противоречит выбору исходной окружности. Итак, выбранная окружность ограничивает круг, покрывающий весь многоугольник. Докажем, что вершина $A_{3}$, соседняя с вершиной $A_{2}$ и отличная от $A_{1}$, также лежит на выбранной окружности. Допустим, что это не так, т. е. точка $A_{3} \neq A$ лежит внутри сегмента круга, соответствующего хорде $A_{2}A$ (рис.). Тогда $\angle A_{2}A_{3}A > 180^{\circ} – A_{2}A_{1}A \geq 90^{\circ}$ и (по теореме синусов) снова радиус описанной около треугольника $A_{2}A_{3}A$ окружности больше $R$, что противоречит выбору исходной окружности. Таким образом, тройка вершин $A_{1},A_{2},A_{3}$ удовлетворяет условию задачи.
Доказать, что у любого выпуклого многоугольника найдется такая тройка соседних вершин, что проходящая через них окружность ограничивает круг, покрывающий весь многоугольник.
Решение:
Среди всех окружностей, проходящих через какие-либо три вершины данного многоугольника, две из которых являются соседними, а соединяющая их сторона рис. видна из третьей вершины под углом, не превосходящим $90^{\circ}$ (множество таких троек вершин не пусто, ибо оно содержит любую тройку соседних вершин), выберем окружность Г наибольшего радиуса $R$. Пусть для определенности она проходит через соседние вершины $A_{1},A_{2}$ и некоторую вершину А многоугольника, причем $\angle AA_{1}A_{2} \leq 90^{\circ}$ (рис.). Пусть какая-либо вершина В данного многоугольника лежит вне круга, ограниченного выбранной окружностью Г. Поскольку точка В лежит в той же полуплоскости относительно прямой $A_{1}A_{2}$, что и точка А, то
$\angle A_{1}BA_{2} < \angle A_{1}AA_{2} \leq 90^{\circ}$
и (по теореме синусов) радиус описанной около треугольника $A_{1}A_{2}B$ окружности больше $R$, что противоречит выбору исходной окружности. Итак, выбранная окружность ограничивает круг, покрывающий весь многоугольник. Докажем, что вершина $A_{3}$, соседняя с вершиной $A_{2}$ и отличная от $A_{1}$, также лежит на выбранной окружности. Допустим, что это не так, т. е. точка $A_{3} \neq A$ лежит внутри сегмента круга, соответствующего хорде $A_{2}A$ (рис.). Тогда $\angle A_{2}A_{3}A > 180^{\circ} – A_{2}A_{1}A \geq 90^{\circ}$ и (по теореме синусов) снова радиус описанной около треугольника $A_{2}A_{3}A$ окружности больше $R$, что противоречит выбору исходной окружности. Таким образом, тройка вершин $A_{1},A_{2},A_{3}$ удовлетворяет условию задачи.
