Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2213
2019-03-18 
Внутри данного треугольника $ABC$ найти точку $P$, сумма расстояний которой от вершин $A, B$ и $C$ была бы наименьшей.
Решение:
Пусть $P$ - искомая точка. Повернем треугольник $ABP$ на $60^{\circ}$ вокруг точки $A$. При этом точка $P$ перейдет в точку $P_1$( а точка $B$ в точку $B_1$ (рис.). Так как угол $P_1AP$ равен $60^{\circ}$ и $AP_1 = AP$, то треугольник $P_1AP$ правильный и $AP = P_1P$. Таким образом, $B_1P_1PC$ - ломаная, составленная из отрезков длины $BP, AP$ и $CP$ соответственно. Так как эта ломаная имеет закрепленные концы в точках $B_1$ и $C_1$ то ее длина будет наименьшей, если она выпрямится в отрезок $B_1C$.
Итак, точка $P$ лежит на отрезке $B_1C$. Аналогично можно показать, что точка $P$ лежит на отрезке $C_1B$, вершина $C_1$ которого получена поворотом $AC$ вокруг $A$ на $60^{\circ}$.
Отсюда простое построение. На отрезках $AB$ и $AC$ строим правильные треугольники $AB_1B$ и $AC_1C$, лежащие вне треугольника $ABC$. Искомая точка $P$ будет лежать на пересечении прямых $B_1C$ и $C_1B$.
Внутри данного треугольника $ABC$ найти точку $P$, сумма расстояний которой от вершин $A, B$ и $C$ была бы наименьшей.
Решение:
Пусть $P$ - искомая точка. Повернем треугольник $ABP$ на $60^{\circ}$ вокруг точки $A$. При этом точка $P$ перейдет в точку $P_1$( а точка $B$ в точку $B_1$ (рис.). Так как угол $P_1AP$ равен $60^{\circ}$ и $AP_1 = AP$, то треугольник $P_1AP$ правильный и $AP = P_1P$. Таким образом, $B_1P_1PC$ - ломаная, составленная из отрезков длины $BP, AP$ и $CP$ соответственно. Так как эта ломаная имеет закрепленные концы в точках $B_1$ и $C_1$ то ее длина будет наименьшей, если она выпрямится в отрезок $B_1C$.
Итак, точка $P$ лежит на отрезке $B_1C$. Аналогично можно показать, что точка $P$ лежит на отрезке $C_1B$, вершина $C_1$ которого получена поворотом $AC$ вокруг $A$ на $60^{\circ}$.
Отсюда простое построение. На отрезках $AB$ и $AC$ строим правильные треугольники $AB_1B$ и $AC_1C$, лежащие вне треугольника $ABC$. Искомая точка $P$ будет лежать на пересечении прямых $B_1C$ и $C_1B$.
