Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2211
2019-03-17 
Через точку, лежащую внутри угла, провести прямую так, чтобы отсекаемый ею треугольник был наименьшей площади.
Решение:
Проведем через точку $M$ прямую $AB$ так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке $M$ пополам. Для этого построим $MC$ параллельно $OA$ и отложим $CB = OC$. Так как $CM$ - средняя линия в треугольнике $OBA$, то $BM = MA$.
Итак, пусть $AM = MB$ (рис.). Проведем произвольную прямую $EF$ через точку $M$. Покажем, что площадь треугольника $OAB$ меньше площади треугольника $OEF$. Проведем $AK$ параллельно $OB$ (если $FM < EM$). Треугольники $AMK$ и $BMF$ равны. Следовательно, $S_{OEF} = S_{OAMF} + S_{AMK} + S_{AEK} > S_{OAMF} + S_{BMF} = S_{OAB}$.
Через точку, лежащую внутри угла, провести прямую так, чтобы отсекаемый ею треугольник был наименьшей площади.
Решение:
Проведем через точку $M$ прямую $AB$ так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке $M$ пополам. Для этого построим $MC$ параллельно $OA$ и отложим $CB = OC$. Так как $CM$ - средняя линия в треугольнике $OBA$, то $BM = MA$.
Итак, пусть $AM = MB$ (рис.). Проведем произвольную прямую $EF$ через точку $M$. Покажем, что площадь треугольника $OAB$ меньше площади треугольника $OEF$. Проведем $AK$ параллельно $OB$ (если $FM < EM$). Треугольники $AMK$ и $BMF$ равны. Следовательно, $S_{OEF} = S_{OAMF} + S_{AMK} + S_{AEK} > S_{OAMF} + S_{BMF} = S_{OAB}$.
