Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 221
2014-06-07 
На плоскости расположены $2n + 3$ точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Существует ли окружность, проходящая через какие-либо три из этих точек и ограничивающая круг, внутри которого лежит ровно половина остальных точек?
Решение:
Возьмем прямую, относительно которой все точки лежат в одной полуплоскости, и будем ее параллельно передвигать до тех пор, пока она не пройдет через первую точку $A_{1}$. Затем будем поворачивать полученную прямую вокруг точки $A_{1}$ до тех пор, пока она не пройдет впервые через другую точку $A_{2}$. Тогда все остальные точки лежат в одной полуплоскости относительно прямой $A_{1}A_{3}$. Занумеруем эти точки $A_{3}, \cdots , A_{2n+3}$ так, чтобы выполнялись неравенства $\angle A_{1}A_{i}A_{2} \leq \angle A_{1}A_{i+1}A_{2}$ при $i = 3, 2n + 2$. При этом равенство $\angle A_{1}A_{i}A_{2} = \angle A_{1}A_{i+1}A_{2}$ невозможно ни при каком значении $i$ (ибо точки $A_{1}, A_{i}, A_{i+1}, A_{2}$ не лежат на одной окружности). Поэтому неравенство $\angle A_{1}A_{n+3}A_{2} \leq \angle A_{1}A_{i}A_{2}$ выполнено ровно для $n$ точек $A_{i}=A_{n+4}, \cdots , A_{2n+3}$, которые (и только они) лежат внутри круга, ограниченного окружностью, проходящей через точки $A_{1}, A_{n+3}, A_{2}$.
На плоскости расположены $2n + 3$ точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Существует ли окружность, проходящая через какие-либо три из этих точек и ограничивающая круг, внутри которого лежит ровно половина остальных точек?
Решение:
Возьмем прямую, относительно которой все точки лежат в одной полуплоскости, и будем ее параллельно передвигать до тех пор, пока она не пройдет через первую точку $A_{1}$. Затем будем поворачивать полученную прямую вокруг точки $A_{1}$ до тех пор, пока она не пройдет впервые через другую точку $A_{2}$. Тогда все остальные точки лежат в одной полуплоскости относительно прямой $A_{1}A_{3}$. Занумеруем эти точки $A_{3}, \cdots , A_{2n+3}$ так, чтобы выполнялись неравенства $\angle A_{1}A_{i}A_{2} \leq \angle A_{1}A_{i+1}A_{2}$ при $i = 3, 2n + 2$. При этом равенство $\angle A_{1}A_{i}A_{2} = \angle A_{1}A_{i+1}A_{2}$ невозможно ни при каком значении $i$ (ибо точки $A_{1}, A_{i}, A_{i+1}, A_{2}$ не лежат на одной окружности). Поэтому неравенство $\angle A_{1}A_{n+3}A_{2} \leq \angle A_{1}A_{i}A_{2}$ выполнено ровно для $n$ точек $A_{i}=A_{n+4}, \cdots , A_{2n+3}$, которые (и только они) лежат внутри круга, ограниченного окружностью, проходящей через точки $A_{1}, A_{n+3}, A_{2}$.
