Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2209
2019-03-17 
Построить треугольник, зная центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
Решение:
Так как углы $OBO_1$ и $OCO_1$ (рис.) прямые, то вершины $B$ и $C$ треугольника лежат на окружности, построенной на отрезке $OO_1$ как на диаметре. Центр этой окружности обозначим буквой $Q$.
Угол $BQC$ - центральный в той окружности, в которую угол $БOC$ вписан (см. рисунок). Дуга, на которую опирается угол $BOC$, равна $2\pi - \angle BQC$, а так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, то
$\angle BQC = 2\pi - 2 \angle BOC$.
Остается найти угол $BOC$:
$\angle BOC = \pi - \frac {B+C}{2} = \pi - \frac {\pi - A}{2} = \frac {\pi + A}{2}$,
следовательно,
$\angle BQC = 2\pi - (\pi + A) = \pi - A$.
Углы $BAC$ и $BQC$ дают в сумме $\pi$; то же самое можно сказать об углах $QBA$ и $QCA$, так как сумма всех углов четырехугольника равна $2\pi$. Тем самым мы доказали, что точка $Q$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Построение, можно провести следующим образом. Строим на отрезке $00_1$ как на диаметре, окружность с центром в точке $Q$. Радиусом $O_2Q$ ($O_2$ - центр описанной окружности) проводим окружность с центром в точке $O_2$. В пересечении этих окружностей мы получим вершины $B$ и $C$ искомого треугольника.
Если точка $O_2$ лежит вне окружности радиуса, равного $\frac{1}{4}OO_1$, с центром $Q$, то задача имеет единственное решение. B противном случае решения нет.
Построить треугольник, зная центры вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
Решение:
Так как углы $OBO_1$ и $OCO_1$ (рис.) прямые, то вершины $B$ и $C$ треугольника лежат на окружности, построенной на отрезке $OO_1$ как на диаметре. Центр этой окружности обозначим буквой $Q$.
Угол $BQC$ - центральный в той окружности, в которую угол $БOC$ вписан (см. рисунок). Дуга, на которую опирается угол $BOC$, равна $2\pi - \angle BQC$, а так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, то
$\angle BQC = 2\pi - 2 \angle BOC$.
Остается найти угол $BOC$:
$\angle BOC = \pi - \frac {B+C}{2} = \pi - \frac {\pi - A}{2} = \frac {\pi + A}{2}$,
следовательно,
$\angle BQC = 2\pi - (\pi + A) = \pi - A$.
Углы $BAC$ и $BQC$ дают в сумме $\pi$; то же самое можно сказать об углах $QBA$ и $QCA$, так как сумма всех углов четырехугольника равна $2\pi$. Тем самым мы доказали, что точка $Q$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Построение, можно провести следующим образом. Строим на отрезке $00_1$ как на диаметре, окружность с центром в точке $Q$. Радиусом $O_2Q$ ($O_2$ - центр описанной окружности) проводим окружность с центром в точке $O_2$. В пересечении этих окружностей мы получим вершины $B$ и $C$ искомого треугольника.
Если точка $O_2$ лежит вне окружности радиуса, равного $\frac{1}{4}OO_1$, с центром $Q$, то задача имеет единственное решение. B противном случае решения нет.
