Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2203
2019-03-17 
Дан сектор $OAB$ ($O$ - центр) с центральным углом в $90^{\circ}$ и радиусом, равным $R$. На отрезке $OB$, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора. Найти радиус окружности, касающейся этой полуокружности и отрезков $OA$ и $AB$.
Решение:
Соединим центры $O_2$ и $O_1$ рассматриваемых окружностей. Отрезок $O_1O_2$ равен $x + \frac{R}{2}$ (рис.). Центр $O_2$ лежит на биссектрисе угла $OAB$, равного $45^{\circ}$. Поэтому угол $DAO_2$ равен $\frac{45^{\circ}}{2}$. Это позволяет выразить через $R$ и $х$ отрезок $DO$:
$DO = R - AD = R - x ctg \frac{45^{\circ}}{2} = R - x \frac {1+ \cos 45^{\circ}}{ \sin 45^{ \circ} } = R - x ( \sqrt{2} + 1 )$.
Так как $C0_1 = \frac{R}{2} - x, O_2C = DO = R-x (\sqrt {2} + 1)$, a $O_1O_2 = x + \frac{R}{2}$, то по теореме Пифагора для треугольника $O_2CO_1$ получим
$\left ( \frac{R}{2} - x \right )^2 + [R - x (\sqrt {2} +1)]^{2} = \left ( \frac{R}{2} + x \right )^{2}$,
или после преобразований
$[R - x (\sqrt {2} + 1)]^2 = 2Rx$,
т.е.
$R - x (\sqrt {2} + 1) = \sqrt {2R} \sqrt{x}$.
Получили квадратное уравнение относительно $\sqrt {x}$. Решая его, найдем
$\sqrt {x_{1, 2}} = \sqrt {R} \frac {- \sqrt {2} \pm \sqrt {4 \sqrt {2} + 6}}{2(\sqrt {2} + 1)}$.
Так как $\sqrt {4 \sqrt {2} + 6} = \sqrt {2} \sqrt {2 \sqrt {2} + 3} = \sqrt {2} (\sqrt {2} + 1) = 2 + \sqrt {2}$, то $\sqrt {x} = \frac {1}{\sqrt {2} + 1} \sqrt {R} = ( \sqrt{2} - 1) \sqrt{R} $. (Второе значение $\sqrt {x}$ не имеет смысла).
Ответ. $x = (3 - 2 \sqrt {2}) R$.
Дан сектор $OAB$ ($O$ - центр) с центральным углом в $90^{\circ}$ и радиусом, равным $R$. На отрезке $OB$, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора. Найти радиус окружности, касающейся этой полуокружности и отрезков $OA$ и $AB$.
Решение:
Соединим центры $O_2$ и $O_1$ рассматриваемых окружностей. Отрезок $O_1O_2$ равен $x + \frac{R}{2}$ (рис.). Центр $O_2$ лежит на биссектрисе угла $OAB$, равного $45^{\circ}$. Поэтому угол $DAO_2$ равен $\frac{45^{\circ}}{2}$. Это позволяет выразить через $R$ и $х$ отрезок $DO$:
$DO = R - AD = R - x ctg \frac{45^{\circ}}{2} = R - x \frac {1+ \cos 45^{\circ}}{ \sin 45^{ \circ} } = R - x ( \sqrt{2} + 1 )$.
Так как $C0_1 = \frac{R}{2} - x, O_2C = DO = R-x (\sqrt {2} + 1)$, a $O_1O_2 = x + \frac{R}{2}$, то по теореме Пифагора для треугольника $O_2CO_1$ получим
$\left ( \frac{R}{2} - x \right )^2 + [R - x (\sqrt {2} +1)]^{2} = \left ( \frac{R}{2} + x \right )^{2}$,
или после преобразований
$[R - x (\sqrt {2} + 1)]^2 = 2Rx$,
т.е.
$R - x (\sqrt {2} + 1) = \sqrt {2R} \sqrt{x}$.
Получили квадратное уравнение относительно $\sqrt {x}$. Решая его, найдем
$\sqrt {x_{1, 2}} = \sqrt {R} \frac {- \sqrt {2} \pm \sqrt {4 \sqrt {2} + 6}}{2(\sqrt {2} + 1)}$.
Так как $\sqrt {4 \sqrt {2} + 6} = \sqrt {2} \sqrt {2 \sqrt {2} + 3} = \sqrt {2} (\sqrt {2} + 1) = 2 + \sqrt {2}$, то $\sqrt {x} = \frac {1}{\sqrt {2} + 1} \sqrt {R} = ( \sqrt{2} - 1) \sqrt{R} $. (Второе значение $\sqrt {x}$ не имеет смысла).
Ответ. $x = (3 - 2 \sqrt {2}) R$.
