Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2202
2019-03-17 
Найти угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, если точка их пересечения удалена от центра окружности на $\frac{3}{5}$ ее радиуса и делит одну хорду пополам, а другую - в отношении 4:9.
Решение:
Из треугольника $AOC$ (рис.) легко найти $AC = 4/5 R$. Так как
$AC \cdot CB = MC \cdot CN$,
то
$\frac{16}{25} R^2 = 36 x^2$,
откуда $x = 2/15 R$.
Проведем перпендикуляр $OD$ к хорде $MN$. Так как $MD = \frac{13}{2} x$, то $CD = MD - MC = \frac{5}{2} x = \frac{R}{3}$.
Косинус угла $OCD$ равен синусу искомого угла $NCB$:
$\frac {CD}{OC} = \frac{R}{3} \div \frac{3R}{5} = \frac{5}{9}$.
Ответ. $arcsin \frac{5}{9}$.
Найти угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, если точка их пересечения удалена от центра окружности на $\frac{3}{5}$ ее радиуса и делит одну хорду пополам, а другую - в отношении 4:9.
Решение:
Из треугольника $AOC$ (рис.) легко найти $AC = 4/5 R$. Так как
$AC \cdot CB = MC \cdot CN$,
то
$\frac{16}{25} R^2 = 36 x^2$,
откуда $x = 2/15 R$.
Проведем перпендикуляр $OD$ к хорде $MN$. Так как $MD = \frac{13}{2} x$, то $CD = MD - MC = \frac{5}{2} x = \frac{R}{3}$.
Косинус угла $OCD$ равен синусу искомого угла $NCB$:
$\frac {CD}{OC} = \frac{R}{3} \div \frac{3R}{5} = \frac{5}{9}$.
Ответ. $arcsin \frac{5}{9}$.
