Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2201
2019-03-17 
Через точку $P$, лежащую вне окружности с центром $O$ и радиусом $R$, проходят две взаимно перпендикулярные секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках $A$ и $C$ (точка $C$ лежит между $P$ и $A$), а вторая секущая - в точках $B$ к $D$ ($D$ лежит между $P$ и $B$). Пусть $P_l$ - проекция $P$ на $AB$, а $M$ - одна из точек пересечения $AB$ с окружностью, центр которой $P_1$ а радиус $P_1O$. Найти длину $MP$.
Решение:
Из треугольника $OAK$(рис.)
${OK}^2 = R^2 - \left ( \frac {AB}{2} \right )^2$.
Tак как $KP_1 = AP_1 - AB/2$, то из треугольника $OKP_1$
${OK}^22 = {OP_1}^2 - \left (AP_1 - \frac{AB}{2} \right )^2$.
По условию $OP_1 = MP_1$ Приравнивая два полученных выражения для ${OK}^2$ и заменяя $OP_1$ на $MP_l$ найдем, что
${MP_1}^3 = R^2 - \left ( \frac{AB}{2} \right )^2 + \left (AP_1 - \frac {AB}{2} \right )^2$.
Hам нужно вычислить длину отрезка $MP$. Чтобы воспользоваться прямоугольным треугольником $MPP_1$ в котором мы знаем длину $MP_l$ нужно вычислить $PP_1$. Так как треугольник $APB$ прямоугольный, то ${PP_1}^2 = AP_1 \cdot P_1B = AP_1(AB-AP_1)$. Теперь можно вычислить и $MP$:
${MP}^2 = {MP_1}^2 + {PP_1}^2 = R^2 - \left ( \frac{AB}{2} \right )^2 + \left (AP_1 - \frac{AB}{2} \right )^2 + AP_1 (AB - AP_1)$.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим, что
${MP}^2 = R^2$.
Ответ. $R$.
Через точку $P$, лежащую вне окружности с центром $O$ и радиусом $R$, проходят две взаимно перпендикулярные секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках $A$ и $C$ (точка $C$ лежит между $P$ и $A$), а вторая секущая - в точках $B$ к $D$ ($D$ лежит между $P$ и $B$). Пусть $P_l$ - проекция $P$ на $AB$, а $M$ - одна из точек пересечения $AB$ с окружностью, центр которой $P_1$ а радиус $P_1O$. Найти длину $MP$.
Решение:
Из треугольника $OAK$(рис.)
${OK}^2 = R^2 - \left ( \frac {AB}{2} \right )^2$.
Tак как $KP_1 = AP_1 - AB/2$, то из треугольника $OKP_1$
${OK}^22 = {OP_1}^2 - \left (AP_1 - \frac{AB}{2} \right )^2$.
По условию $OP_1 = MP_1$ Приравнивая два полученных выражения для ${OK}^2$ и заменяя $OP_1$ на $MP_l$ найдем, что
${MP_1}^3 = R^2 - \left ( \frac{AB}{2} \right )^2 + \left (AP_1 - \frac {AB}{2} \right )^2$.
Hам нужно вычислить длину отрезка $MP$. Чтобы воспользоваться прямоугольным треугольником $MPP_1$ в котором мы знаем длину $MP_l$ нужно вычислить $PP_1$. Так как треугольник $APB$ прямоугольный, то ${PP_1}^2 = AP_1 \cdot P_1B = AP_1(AB-AP_1)$. Теперь можно вычислить и $MP$:
${MP}^2 = {MP_1}^2 + {PP_1}^2 = R^2 - \left ( \frac{AB}{2} \right )^2 + \left (AP_1 - \frac{AB}{2} \right )^2 + AP_1 (AB - AP_1)$.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим, что
${MP}^2 = R^2$.
Ответ. $R$.
