Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2200
2019-03-17 
$AB$ и $CD$ - два взаимно перпендикулярных диаметра окружности $S_1$. С центром в точке $D$ радиусом $BD$ построена окружность $S_2$. Из точки $D$ проведены две прямые, пересекающие окружность $S_1$ в точках $P$ и $Q$ и дугу $AB$ окружности $S_2$, заключенную внутри окружности $S_1$, в точках $M$ и $N$. Точки $P$ и $Q$ спроектированы на $AB$; $P_1$ и $Q_1$ соответственно- их проекции. Доказать, что фигура $PMNQ$ равновелика треугольнику $P_1Q_1D$.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда диаметр $CD$ разбивает фигуру $PQNM$ на две части. Докажем, что фигуры $CQNK$ и $OQ_1D$ равновелики (рис.). Площадь первой фигуры представим как разность
$S_{CKNQ} = S_{CDQ} - S_{KDN}$, где $S_{CDQ} = S_{COQ} + S_{QOD}$.
Итак,
$S_{CKNQ} = S_{COQ} + S_{QOD} - S_{KDN}$.
Если радиус меньшей окружности равен $r$, то радиус большей равен $r \sqrt {r}$. Углы $CDQ$ и $COQ$ опираются на общую дугу $CQ$, причем один из них вписан в окружность, а другой является центральным. Следовательно, если угол $CDQ$ равен $\beta$, то угол $COQ$ равен $2\beta$. Теперь мы можем вычислить площади секторов $COQ$ и $KDN$:
$S_{COQ} = \frac {r^2 \cdot 2\beta}{2} = r^2 \beta$,
$S_{KDN} = \frac {R^2\beta}{2} = \frac {(\sqrt {2} r)^2 \beta}{2} = r^2\beta$.
Таким образом, $S_{COQ} = S_{KDN}$. Тем самым доказано, что $S_{CKNQ} = S_{QOD}$. Поскольку треугольники $QOD$ и $Q_1OD$ равновелики (у них общее основание и общая высота), то
$S_{CKMQ} = S_{Q_1OD}$,
Совершенно аналогично доказывается следующее равенство
$S_{CKMP} = S_{P_1OD}$,
что и завершает доказательство для случая, когда точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от $CD$.
Если точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от диаметра (рис.), то решение не меняется. Только в конце найденные площади придется не складывать, а вычитать.
$AB$ и $CD$ - два взаимно перпендикулярных диаметра окружности $S_1$. С центром в точке $D$ радиусом $BD$ построена окружность $S_2$. Из точки $D$ проведены две прямые, пересекающие окружность $S_1$ в точках $P$ и $Q$ и дугу $AB$ окружности $S_2$, заключенную внутри окружности $S_1$, в точках $M$ и $N$. Точки $P$ и $Q$ спроектированы на $AB$; $P_1$ и $Q_1$ соответственно- их проекции. Доказать, что фигура $PMNQ$ равновелика треугольнику $P_1Q_1D$.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда диаметр $CD$ разбивает фигуру $PQNM$ на две части. Докажем, что фигуры $CQNK$ и $OQ_1D$ равновелики (рис.). Площадь первой фигуры представим как разность
$S_{CKNQ} = S_{CDQ} - S_{KDN}$, где $S_{CDQ} = S_{COQ} + S_{QOD}$.
Итак,
$S_{CKNQ} = S_{COQ} + S_{QOD} - S_{KDN}$.
Если радиус меньшей окружности равен $r$, то радиус большей равен $r \sqrt {r}$. Углы $CDQ$ и $COQ$ опираются на общую дугу $CQ$, причем один из них вписан в окружность, а другой является центральным. Следовательно, если угол $CDQ$ равен $\beta$, то угол $COQ$ равен $2\beta$. Теперь мы можем вычислить площади секторов $COQ$ и $KDN$:
$S_{COQ} = \frac {r^2 \cdot 2\beta}{2} = r^2 \beta$,
$S_{KDN} = \frac {R^2\beta}{2} = \frac {(\sqrt {2} r)^2 \beta}{2} = r^2\beta$.
Таким образом, $S_{COQ} = S_{KDN}$. Тем самым доказано, что $S_{CKNQ} = S_{QOD}$. Поскольку треугольники $QOD$ и $Q_1OD$ равновелики (у них общее основание и общая высота), то
$S_{CKMQ} = S_{Q_1OD}$,
Совершенно аналогично доказывается следующее равенство
$S_{CKMP} = S_{P_1OD}$,
что и завершает доказательство для случая, когда точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от $CD$.
Если точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от диаметра (рис.), то решение не меняется. Только в конце найденные площади придется не складывать, а вычитать.
