Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 220
2014-06-07 
На плоскости расположены 100 точек. Доказать, что существует конечное множество кругов, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1) любая из данных точек лежит внутри одного из кругов;
2) любые две точки разных кругов удалены друг от друга более чем на 1;
3) сумма диаметров всех кругов меньше 100.
Решение:
Рассмотрим следующую процедуру, заключающуюся в выполнении некоторого числа шагов. На первом шаге покроем каждую из данных точек кругом диаметра 1/200. Пусть после k-го шага $(k \in \mathbf{N})$ существуют два круга, удаленные друг от друга не более, чем на 1. Через $O_{1}$ и $O_{2}$ обозначим центры этих кругов, а через $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ - точки пересечения прямой $O_{1}O_{2}$ с окружностями, ограничивающими эти круги (точки $A_{2}$ и $A_{3}$ лежат между точками $A_{1}$ и $A_{4}$ причем $A_{2}A_{3} \leq 1$; рис.). Тогда (k+1)-й шаг заключается в том, что указанные два круга заменяются кругом, построенным на отрезке $A_{1}A_{4}$, как на диаметре. Описанная процедура продолжается до тех пор, пока это возможно, т. е. пока не будет выполнено условие 2). Так как после первого шага число кругов было равно 100, а на каждом последующем шаге их число уменьшается на 1, то общее число шагов не превосходит 100. Поэтому процедура обязательно закончится, а условие 1), выполненное на каждом шаге, будет выполнено и по окончании процедуры. Поскольку после первого шага сумма диаметров равнялась 100/200 = 0,5, а на каждом последующем шаге она может увеличиваться не более чем на 1, то итоговая сумма диаметров не будет превосходить числа 0,5 + 99 < 100, т. е. условие 3) также будет выполнено.
На плоскости расположены 100 точек. Доказать, что существует конечное множество кругов, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1) любая из данных точек лежит внутри одного из кругов;
2) любые две точки разных кругов удалены друг от друга более чем на 1;
3) сумма диаметров всех кругов меньше 100.
Решение:
Рассмотрим следующую процедуру, заключающуюся в выполнении некоторого числа шагов. На первом шаге покроем каждую из данных точек кругом диаметра 1/200. Пусть после k-го шага $(k \in \mathbf{N})$ существуют два круга, удаленные друг от друга не более, чем на 1. Через $O_{1}$ и $O_{2}$ обозначим центры этих кругов, а через $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ - точки пересечения прямой $O_{1}O_{2}$ с окружностями, ограничивающими эти круги (точки $A_{2}$ и $A_{3}$ лежат между точками $A_{1}$ и $A_{4}$ причем $A_{2}A_{3} \leq 1$; рис.). Тогда (k+1)-й шаг заключается в том, что указанные два круга заменяются кругом, построенным на отрезке $A_{1}A_{4}$, как на диаметре. Описанная процедура продолжается до тех пор, пока это возможно, т. е. пока не будет выполнено условие 2). Так как после первого шага число кругов было равно 100, а на каждом последующем шаге их число уменьшается на 1, то общее число шагов не превосходит 100. Поэтому процедура обязательно закончится, а условие 1), выполненное на каждом шаге, будет выполнено и по окончании процедуры. Поскольку после первого шага сумма диаметров равнялась 100/200 = 0,5, а на каждом последующем шаге она может увеличиваться не более чем на 1, то итоговая сумма диаметров не будет превосходить числа 0,5 + 99 < 100, т. е. условие 3) также будет выполнено.
