Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2196
2019-03-17 
Из точки $A$, лежащей на окружности радиуса $r$, проведены две хорды $AC$ и $AB$. Эти хорды лежано одну сторону от диаметра окружности, проходящего через точку $A$. Длина большей хорды равна $b$, а угол $BAC\:равен \alpha$. Найти радиус окружности, которая касается хорд $AB$ и $AC$ и дуги $BC$.
Решение:
Введем обозначения, указанные на рис. В треугольнике $AOO_1$:
$AO_1 = \frac {x}{\sin \frac{\alpha}{2}}, OO_1 = r - x$.
Чтобы применить к этому треугольнику теорему косинусов, обозначим угол $BAD$ через $\beta$. Из треугольника $ABD$
$\cos \beta = \frac{b}{2r}, \sin \beta = \frac { \sqrt{4r^2 - b^2}}{2r}$.
Следовательно, по теореме косинусов для треугольника $AOO_1$:
$(r-x)^2 = \frac {x^2}{\sin^{2} \frac{\alpha}{2}} + r^2 - 2 \frac {rx}{\sin \frac{\alpha}{2}} \cos \left ( \frac{\alpha}{2} + \beta \right )$.
Раскроем скобки и воспользуемся формулой косинуса суммы. После упрощений получим искомый радиус.
Ответ. $x = tg \frac{\alpha}{2} \left (b - 2r tg \frac{\alpha}{2} - \sqrt{4r^2 - b^2} tg \frac{\alpha}{2} \right )$.
Из точки $A$, лежащей на окружности радиуса $r$, проведены две хорды $AC$ и $AB$. Эти хорды лежано одну сторону от диаметра окружности, проходящего через точку $A$. Длина большей хорды равна $b$, а угол $BAC\:равен \alpha$. Найти радиус окружности, которая касается хорд $AB$ и $AC$ и дуги $BC$.
Решение:
Введем обозначения, указанные на рис. В треугольнике $AOO_1$:
$AO_1 = \frac {x}{\sin \frac{\alpha}{2}}, OO_1 = r - x$.
Чтобы применить к этому треугольнику теорему косинусов, обозначим угол $BAD$ через $\beta$. Из треугольника $ABD$
$\cos \beta = \frac{b}{2r}, \sin \beta = \frac { \sqrt{4r^2 - b^2}}{2r}$.
Следовательно, по теореме косинусов для треугольника $AOO_1$:
$(r-x)^2 = \frac {x^2}{\sin^{2} \frac{\alpha}{2}} + r^2 - 2 \frac {rx}{\sin \frac{\alpha}{2}} \cos \left ( \frac{\alpha}{2} + \beta \right )$.
Раскроем скобки и воспользуемся формулой косинуса суммы. После упрощений получим искомый радиус.
Ответ. $x = tg \frac{\alpha}{2} \left (b - 2r tg \frac{\alpha}{2} - \sqrt{4r^2 - b^2} tg \frac{\alpha}{2} \right )$.
